Question

Doy corona quien lo haga​

Answer 1

Respuesta:

Los dos primeros los puedes hacer de dos formas diferentes pero quedara igual. La primera forma, la cual es la que tu profesor te recomiendo ya que te puso una sugerencia, es resolver la identidad notable. No me gusta esa opción porque tardas más y en lo personal considero que es menos pro.

La opción que me gusta es que para resolver las integrales de funciones (cuando ademas de x hay mas cosas que le acompañan, por ejemplo en la primera le esta multiplicando el 2 y le esta sumando el 3, ademas que esta elevado al cuadrado) es que si a la función le multiplicamos por la derivada de la base ( en el caso de la primera la base es 2x+3 ) podemos tratar a la función como si fuese una x, lo veras mejor cuando lo resuelva:

$∫ (2x + 3)^{2} dx$

La derivada de 2x+3 es 2 simplemente (no tienes que tener en cuenta el exponente ya que hablamos de la base).

Ahora necesitamos pensa en estas dos cosas:

$\frac{2}{2} = 1 \: \: \: \: 1 \times 2 = 2$

Si dividimos un numero por si mismo siempre va a dar 1, y si multiplicamos cualquier numero por 1 va a dar el mismo numero, entonces podremos agregarle cualquier numero que deseamos si hacemos este truco:

$\frac{2}{2} ∫  {(2x + 3)}^{2} dx \\ \\ \frac{1}{2} ∫ 2 {(2x + 3)}^{2} dx$

No se si sabes pero hay una propiedad que me permite sacar y entrar numeros constantes (que no formen parte de la función ) entonces entre el 2 del numerador y el 1/2 lo deje afuera. Entonces, por lo que hablamos antes, si estamos integrando una derivada, esta volverá a su anterior forma, a la forma de función, por lo que, si tenemos en cuenta que en la función (2x+3)² la derivada de la base es 2 entonces:

$\frac{1}{2} \times \frac{ {(2x + 3)}^{2 + 1} }{2 + 1} = \frac{1}{2} \times \frac{ {(2x + 3)}^{3} }{3} = \frac{ {(2x + 3)}^{3} }{6} + c$

Por si no sabes integrar tampoco utilice la siguiente fórmula:

$∫ x^{n} dx = \frac{ {x}^{n + 1} }{n + 1} + c$

En resumen para este ejercicio en concreto utilice:

$∫ (u' \times u^{n} )dx = \frac{ {u}^{n + 1} }{n + 1}$

siendo " u " una función y " u' " la derivada de la base.

Para el siguiente es mas de lo mismo y teniendo en cuenta que la derivada de x-1 es 1 entonces no tienens ni porque agregar otros numeros. Unicamente debes sumarle 1 al exponente y ponerlo de denominador.

Para el siguiente ejercicio tienes que transformar la función, se puede hacer teniendo en cuenta las siguientes cosas:

$\sqrt[3]{x} = {x}^{ \frac{1}{3} } \\ \frac{x^{4} }{x^{2} } = {x}^{4 - 2} = {x}^{2}$

Entonces si tenemos esto:

$∫ \frac{ {x}^{3} }{ \sqrt[3]{x} } dx$

Lo vamos transformando poco a poco:

$∫ \frac{x^{3} }{ {x}^{ \frac{1}{3} } } dx = ∫ {x }^{3 - \frac{1}{3} }dx =∫ {x}^{ \frac{8}{3} } dx$

Ahora si, utilizando:

$∫ {x}^{n} dx = \frac{ {x}^{n + 1} }{n + 1}$

Resolvemos la integral:

$∫ {x}^{ \frac{8}{3} } dx = \frac{ {x}^{ \frac{8}{3} + 1 } }{ \frac{8}{3} + 1} = \frac{ {x}^{ \frac{11}{3} } }{ \frac{11}{3} } = \frac{3 {x}^{ \frac{11}{3} } }{11} = \frac{3 \sqrt[3]{ {x}^{11} } }{11} + c$

Quedo muy fea, pero ya está.

Para la siguiente tienes que tener en cuenta esto:

$∫ (u + v)dx = ∫ u \: dx \: + ∫ v \: dx$

Es decir que la suma de funciones se hace la integral por separado. Entonces:

$∫ ( {x}^{ \frac{1}{4} } + \frac{2}{x \sqrt{x} } ) \: dx \\ = ∫ {x}^{ \frac{1}{4} } \: dx + ∫ \frac{2}{x \sqrt{x} } dx$

Y lo resolvemos por separado:

$∫ {x}^{ \frac{1}{4} } \: dx = \frac{ {x}^{ \frac{1}{4} + 1} }{ \frac{1}{4} + 1 } = \frac{ {x}^{ \frac{5}{4} } }{ \frac{5}{4} } = \frac{4 {x}^{ \frac{5}{4} } }{5}$

Y la otra debemos transformarla un poco:

$∫ \frac{2}{x \sqrt{x} } dx = 2∫ \frac{1}{x \sqrt{x} } dx \\ = 2∫ \frac{1}{ \sqrt{ {x}^{3} } } dx = 2∫ {x}^{ - \frac{1}{3} } \\ = 2 \times \frac{ {x}^{ - \frac{1}{3} + 1} }{ - \frac{1}{3} + 1 } = 2 \times \frac{x^{ \frac{2}{3} } }{ \frac{2}{3} } = 2 \times \frac{3 {x}^{ \frac{2}{3} } }{2} \\ = 3 {x}^{ \frac{2}{3} }$

Y ya esta, ahora los unes:

$∫( {x}^{ \frac{1 }{4} } + \frac{2}{x \sqrt{x} } ) \: dx = \frac{4x^{ \frac{5}{4} } }{5} + 3 {x}^{ \frac{2}{3} } + c$

Quedan resultados muy feos pero el resultado es el resultado.

Espero que hayas entendido todo, en realidad creo que me exploque muy mal pero hice lo mejor que pude.

Puse una hoja que muestra las derivadas porque para saber integrar necesitas saber derivar.

Buena suerte