Question

*Doy 30 puntos*

Forma 3 ecuaciones eliminando “z” y luego resuelve hasta obtener los valores de x, y, z, w.

y+z+w=8
z+2w+x=8
3w+x+y=10
x+y+z=9

Answer 1

Tenemos el sistema:

y + z + w = 8      (1)
z + 2w + x = 8    (2)
3w + x + y = 10  (3)
x + y + z = 9       (4)

Y nos recomiendan eliminar ''z'' para obtener un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Hemos nombrado a cada ecuación con números.

Podemos hacer la ecuación (1) menos la ecuación (2):

  y + z + w = 8
- x - z -2w = -8
----------------------
   y - x - w = 0     (1)'

Hemos obtenido la ecuación (1)'. Ahora podemos hacer (1) - (4):

  y + z + w = 8
 -y - z - x   = -9
-----------------------
          w - x = -1       (2)'

Hemos obtenido (2)'. Ahora tenemos el sistema formado por (1)', (2)' y (3):

 y - x - w  =  0       (1)'
    - x + w = -1       (2)'
y + x + 3w = 10     (3)

Ya hemos eliminado ''z'' y vamos a resolver este sistema de 3 por 3. Podemos sumar las ecuaciones (1)' y (2)':

y - x - w  =  0
   - x + w = -1
-------------------
y - 2x + 0 = -1        (3)'

Le llamamos ahora (3)' a esta expresión. De (2)' despejamos ''w'':

w = -1 + x

Y la reemplazamos en (3):

y + x + 3(-1+x) = 10

Reacomodando:

y + x - 3 + 3x = 10

y + 4x = 13         (4)'

Que será nombrada como (4)'. Ahora tenemos el sistema 2 por 2 formado por (3)' y (4)':

y - 2x = -1      (3)'
y + 4x = 13     (4)'

Podemos hacer (3)' - (4)':

 y - 2x = -1      
-y - 4x = -13  
--------------------
0 - 6x = -14         ⇒ x = 7/3

Ahora reemplazamos esta valor en la ecuación (3)':

y - 2(7/3) = -1

y - 14/3 = -1     ⇒ y = 11/3

Podemos reemplazar estos valores de ''x'' e ''y'' en (1)':

11/3 - 7/3 - w = 0

4/3 - w = 0     ⇒ w = 4/3

Por último metemos los valores de ''y'' y ''w'' eb la ecuación (1):

11/3 + z + 4/3 = 8

15/3 + z = 8

5 + z = 8     ⇒ z = 3

Entonces para el sistema dado, la solución es el punto (w, x, y, z) = (4/3, 7/3, 11/3, 3).

Un saludo.