Question

Doy 25 puntos a cada uno + los puntos por mejor respuesta.
Resolver la integral:
∫ (x⁵/(√(x³+1)) dx)

Answer 1

∫ (x⁵/(√(x³+1)) dx)
Resolviendo por sustitución:
Haciendo:
t= √(x³+1)

t² = x³ + 1
t² - 1 = x³

Ahora para hallar dx:
t² = x³ + 1
2t dt/dx = 3x²
dx = 2t dt / 3x²

Sustituyendo:
Sabiendo que (x⁵ = x³* x²)

∫ (x² (t² - 1)/ t)  2t dt / 3x²
= ∫ ((t² - 1)/ t)  2t dt / 3
= ∫ 2/3 (t²-1) dt

Sacando los 2/3 de la integral por propiedad:
= 2/3 ∫(t² - 1) dt

Llegamos entonces a una integral básica:
∫(t² -1) dt = t³/3 - t +c

= 2/3 (t³/3 - t + c)
= 2/3 (((t³ - 3t) + 3c )/3)
= 2/9 t³- 3t + 3c
3c= k
= 2/9 (t³ - 3t + k)
=2/9(t³ - 3t) + 2/9k
2/9 k = K

Reemplazando nuevamente t por x:
= 2/9 (√(x³+1))³ - 3(√(x³+1)) +K
= 2/9 ((x³+1) *√(x³+1) - 3 (√(x³+1)) +K
= 2/9 (√(x³+1)((x³+1) - 3))+ K
= 2/9 √(x³+1)(x³-2) + K

Donde, k, K y c son constantes.