Question

Dos postes, uno de 12 pies de altura y el otro de 28 pies, est ́an a 30 pies de distancia. Se sostienen por dos cables, conectados a una sola estaca, desde el nivel del suelo hasta la parte superior de cada poste. ¿D ́onde debe colocarse la estaca para que se use la menor cantidad de cable?

Answer 1

Respuesta:

La estaca debe ponerse a 9 pies de distancia, de la base del poste de 12 pies

Explicación paso a paso:

Observa la imagen adjunta, por fa.

Tenemos 2 triángulos rectángulos, uno más chico, a la izquierda cuya hipotenusa está formada por el segmento de cable que sostiene el poste chico a la estaca y que denominaremos Y. Igualmente, denominamos "x" al menor de sus catetos, y ya sabemos que el otro cateto, el mayor, mide 12

El otro triángulo, más grande, está a la derecha y su hipotenusa está formada por el segmento de cable que sostiene al poste grande a la estaca y que denominaremos Z.

En este triángulo tenemos también que su cateto mayor mide 28, mientras que el cateto menor mide 30-x, porque a toda la distancia entre los postes, que es de 30, le restamos la parte que corresponde a x

La pregunta gira en torno a la menor cantidad de cable. Esa cantidad la denominaremos C y resulta de la suma de Y+Z

Tenemos entonces que la ecuación $c=y+z$ es la que es necesario minimizar, porque c es la cantidad total de cable y, precisamente, nos están pidiendo que sea la mínima.

Pero la ecuación $c=y+z$ tiene dos variables, por lo que es necesario trabajarla en términos de una sola variable, para así poder aplicar la derivación que nos conducirá a la minimización que estamos buscando.

Nos ayudamos entonces con el Teorema de Pitágoras. Vamos a despejar la hipotenusa en cada triángulo:

En el chico de la izquierda:

$y^{2}=x^{2}+12^{2}$

Despejamos y, sacando la raíz cuadrada:

$y=\sqrt{x^{2}+144}$

En el grande, de la derecha:

$z^{2}=(30-x)^{2}+28^{2}$

Para despejar z, hay que desarrollar el binomio al cuadrado:

$z=\sqrt{900-60x+x^{2}+784}$

$z=\sqrt{x^{2}-60x+1684}$

Ahora podemos organizar la ecuación en torno a la variable x, para así poder aplicarle la derivación.

$c=\sqrt{x^{2}+144}+\sqrt{x^{2}-60x+1684}$

Nos deshacemos de las raíces cuadradas:

$c=(x^{2}+144)^{\frac{1}{2}}+(x^{2}-60x+1684)^{\frac{1}{2}}$

Derivamos:

$c'=\frac{1}{2}(x^{2}+144)^{\frac{1}{2}-1}(2x)+\frac{1}{2}(x^{2}-60x+1684)^{\frac{1}{2}-1}(2x-60)$

Simplificamos:

$c'=\frac{2x}{2}(x^{2}+144)^{-\frac{1}{2}}+\frac{2x-60}{2}(x^{2}-60x+1684)^{-\frac{1}{2}}$

$c'=\frac{2x}{2(x^{2}+144)x^{\frac{1}{2}}}+\frac{2(x-30)}{2(x^{2}-60x+1684)^{\frac{1}{2}}}$

$c'=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+144}}+\frac{x-30}{\sqrt{x^{2}-60x+1684}}$

Ahora, para minimizar, igualamos a cero la ecuación

$0=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+144}}+\frac{x-30}{\sqrt{x^{2}-60x+1684}}$

Paso uno de los términos, al lado izquierdo, cambio el signo

$-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+144}}=\frac{x-30}{\sqrt{x^{2}-60x+1684}}$

Establezco una igualdad de productos de medios por extremos:

$-x\sqrt{x^{2}-60x+1684}=(x-30)\sqrt{x^{2}+144}$

Elimino las raíces cuadradas, elevando al cuadrado:

$(-x)^{2}(\sqrt{x^{2}-60x+1684})^{2}=(x-30)^{2}(\sqrt{x^{2}+144})^{2}$

Cancelamos los cuadrados con las raíces cuadradas. Desarrollamos el binomio al cuadrado y tenemos:

$x^{2}(x^{2}-60x+1684)=(x^{2}-60x+900)(x^{2}+144)$

Realizamos las operaciones:

$x^{4}-60x^{3}+1684x^{2}=x^{4}+144x^{2}-60x^{3}-8640x+900x^{2}+129600$

Reducimos la ecuación eliminando los términos iguales que pasarían con signo contrario al otro lado de la igualdad:

$1684x^{2}=1044x^{2}-8640x+129600$

$1684x^{2}-1044x^{2}+8640x-129600=0$

$640x^{2}+8640x-129600=0$

Tenemos entonces una ecuación cuadrática. La reducimos:

$64x^{2}+864x-12960=0$

Resolvemos con la fórmula general:

$x=\frac{-864+-\sqrt{864^{2}-4*64(-12960)}}{2*64}$

$x=9$

Con este dato puedo decir que la estaca debe ponerse a 9 pies de distancia, de la base del poste de 12 pies.