Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una órbita circular de radio = 108 con un periodo de rotaci ́on = 2 ñ, mientras 11 que el planeta 2 describe una órbita el ́ıptica cuya distancia más próxima es = 108 y la más 1 alejada es = 1.8 108 tal y como muestra la figura. ¿Cual es el periodo de rotación del planeta 2 2?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
T₂ = 3.31 años periodo de rotación del planeta 2
Explicación:
Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una órbita circular de radio r₁ = 10⁸ km con un periodo de rotación T1 = 2 años, mientras que el planeta 2 describe una órbita elíptica cuya distancia más próxima es r₁ = 10⁸ km y la mas alejada es r₂ = 1,8 x 10⁸ km tal y como muestra la figura. ¿Cuál es el periodo de rotación del planeta 2?
Aplicar la Ley de Kepler
T₁² = T₂²
r₁³ r³
r₁ = 10⁸ km
r₂ = 1,8 x 10⁸ km
1. Calcular la distancia media del planeta 2 a la estrella
r = r₁ + r₂
2
r = 10⁸ km + 1,8 x 10⁸ km
2
r = 1.4 x 10⁸ km
2. calcular el periodo de rotación del planeta 2:
T₁² = T₂²
r₁³ r³
_(2)²_ = __T₂²____
(10⁸)³ (1.4 x 10⁸ )³
4 x (1.4 x 10⁸ )³ = T₂² x (10⁸)³
1.0976 x 10²⁵ = T₂² x (10⁸)³
T₂² = √1.0976 x 10²⁵
1 x 10²⁴
T₂ = 3.31 años
DATOS
radio de la trayectoria del planeta (1)= r₁=10⁸km
radio minimo de la trayectoria del planeta (2) r₁=10⁸km
radio maximo de la trayectoria del planeta (2) r₂=1,8 10⁸km
periodo del planeta (1) es T₁=2años
RESOLUCION
una trayectoria eliptica se puede convertir a una trayectoria circular con un radio r₃ (tambien llamado radio medio) la cual resulta de :
r₃=(radio minimo +radio maximo)/2
r₃= (r₁+r₂)/2
r₃=(10⁸+1,8 10⁸ )2
r₃=1,4 10⁸ km
como los dos planetas hacen ahora trayectorias circulares ,se debe a que hay una fuerza centripeta la cual seria igual a la fuerza gravitacional
planeta (1)
Fg=Fcp
GMm/ r₁²=macp
GM/ r₁²=ω²r₁
GM/ r₁²=(2π/T₁)²r₁
r₁³=GMT₁²/(4π²) ...(1)
planeta (2)
GMm/ r₃²=macp
GM/r₃²=ω²r₃
GM/ r₃²=(2π/T₂)²r₃
r₃³=GMT₂²/(4π²) ...(2)
dividiendo (1) entre (2)
(r₁³/r₃³)=T₁²/T₂²
(r₁/r₃)³=(T₁/T₂)²
(10⁸/1,4 10⁸)³=(2/T₂)²
T₂=3,31 años
AUTOR: SmithValdez