Question

dos personas parten de un mismo punto tomando direcciones que forman un ángulo de 50 grados, después de un tiempo han avanzado 15 y 20 metros respectivamente ? A que distancia, se encuentra una de la otro?​

Answer 1

Luego de haber realizado sus respectivos recorridos las dos personas se encontrarán a una distancia de aproximadamente 15.47 metros una de la otra

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa el punto desde donde partieron las dos personas con direcciones distintas, donde el lado BC (a) representa la trayectoria de una persona - la cual llegará hasta el vértice A - y el lado CA (b) la trayectoria de la otra persona - la cual llegará hasta el vértice B - donde ambos recorridos forman un ángulo de 50°. Y el lado AB (c) representa la distancia entre las dos personas luego de haber avanzado sus respectivas distancias la cual es nuestra incógnita

Se pide hallar a que distancia se encuentra una persona de la otra después de haber avanzado 15 y 20 metros respectivamente

Hallamos la distancia "c" entre una persona y la otra para determinar a que distancia se encuentra una de la otra

La cual está dada por el lado faltante del triángulo lado AB (c)

Conocemos el valor de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para hallar la distancia entre las dos personas

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c^{2} =( 15 \ m)^{2} + (20 \ m)^{2} - 2 \ . \ 15 \ m \ . \ 20 \ m \ . \ cos(50^o) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 225 \ m^{2} + 400 \ m^{2} - 600 \ m^{2} \ . \ cos(50^o) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} =625 \ m^{2} - 600\ m^{2} \ . \ 0.642787609687 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 625\ m^{2} -385.67 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {c^{2} =239.33 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{239.33 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 239.33 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 15.47029 \ m }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 15.47\ metros}}$

Luego de haber realizado sus respectivos recorridos las dos personas se encontrarán a una distancia de aproximadamente 15.47 metros una de la otra

Se adjunta gráfico