Question

Dos personas están en una playa y ven un globo

desde los puntos A y B, respectivamente, de forma que las

dos personas y el globo están en un plano perpendicular al

suelo. La distancia entre las dos personas es de 4 km. El

ángulo de elevación del globo desde el punto A es de 57°, y

desde el punto B, de 46°. Calcula la altura a la que se

encuentra el globo.​

Answer 1

El globo se encuentra a 2.47 kilómetros de altura

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Solución

Se representa la situación en un triángulo acutángulo el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre los dos personas que se hallan en la playa. Y los lados AC (b) y BC (a) que equivalen a las respectivas distancias desde cada una de las personas hasta el vértice C donde se encuentra el globo

Donde se pide hallar a que altura se encuentra el globo

Para facilitar la resolución del problema podemos hallar cualquiera de las dos distancias desde cada una de las personas en la playa hasta el vértice C donde se encuentra el globo, dado que conocemos la longitud de separación entre las dos personas y los ángulos que esta medida forma en cada extremo donde se hallan las personas con respecto a sus respectivas distancias hasta donde se encuentra el globo

Teniendo para la persona ubicada a la izquierda un ángulo de 57°, y para la persona que se ubica a la derecha un ángulo de 46°, donde denotaremos a estos dos ángulos como α y β respectivamente

Dado que la altura a la que se encuentra el globo -que es nuestra incógnita- secciona al triángulo acutángulo en dos triángulos rectángulos ADC y BDC, la altura DC resulta ser el cateto opuesto a los ángulos de 57° y de 46° respectivamente

Por tanto si hallamos empleando la ley del seno cualquiera de las dos distancias desde cada una de las personas hasta el vértice C - donde se encuentra el globo-  habremos hallado las hipotenusas de los dos triángulos rectángulos

En donde el cateto opuesto que equivale a la altura es el mismo para ambos triángulos

Por lo tanto basta con hallar la distancia desde una de las personas -hipotenusa de un triángulo rectángulo- hasta el vértice donde se encuentra el globo para hallar luego la altura empleando la razón trigonométrica seno

Luego podemos determinar nuestra incógnita de dos maneras posibles donde arribaremos al mismo resultado  

Donde antes debemos hallar el valor del tercer ángulo del triángulo acutángulo

Determinamos el valor del tercer ángulo C al cual denotamos como γ  

Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o = 57^o+ 46^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 57^o- 46^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 77^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 77°

Alternativa 1

Hallamos la distancia desde la persona en A hasta el globo -lado AC (b) -

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(46 ^o ) } = \frac{ 4 \ km }{sen(77^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 4 \ km \ . \ sen(46 ^o ) }{sen(77^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 4\ km \ . \ 0.7193398003386}{ 0.9743700647852} }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 2.8773592013546 }{ 0.9743700647852 }\ km }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 2.95 \ km }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en ADC para determinar la altura del globo

$\boxed { \bold { sen(57^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(57^o) = \frac{altura \ globo }{distancia\ b } }}$

$\boxed { \bold {altura \ globo= distancia \ b \ . \ sen(57^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ globo = 2.95\ km \ . \ sen(57^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ globo= 2.95\ km \ . \ 0.8386705679454 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ globo= 2.47\ km }}$

Alternativa 2

Hallamos la distancia desde la persona en B hasta el globo -lado BC (a) -

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(57 ^o ) } = \frac{ 4 \ km }{sen(77^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 4 \ km \ . \ sen(57 ^o ) }{sen(77^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 4\ km \ . \ 0.8386705679454 }{ 0.9743700647852} }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 3.3546822717816 }{ 0.9743700647852 }\ km }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 3.44 \ km }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en BDC para determinar la altura del globo

$\boxed { \bold { sen(46^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(46^o) = \frac{altura \ globo }{distancia\ a } }}$

$\boxed { \bold {altura \ globo= distancia \ a \ . \ sen(46^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ globo = 3.44\ km \ . \ sen(46^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ globo= 3.44\ km \ . \ 0.7193398003386 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ globo= 2.47\ km }}$

Concluyendo que conocida el valor de una hipotenusa de cualquiera de los triángulos rectángulos que se conforman, basta con hallar la altura en uno de ellos para determinar la altura del globo