Question

Dos pequeñas esferas conductoras de masa m están colgadas de cuerdas muy delgadas no conductoras y cada una de las esferas tiene una carga igual q. Asumiendo que θ es tan pequeño, entonces tanθ puede ser reemplazado por su aproximada igualdad senθ. Con esta aproximación encuentre el siguiente resultado:

$x=(\frac{q^2L}{\pi e_0mg} )^\frac{1}{3}$

Answer 1

La expresión de la distancia x en función de todos los parámetros es

$x=(\frac{Q^2L}{2\pi.\epsilon_0}\frac{1}{mg}})^{\frac{1}{3}}$

Explicación:

Por un lado tenemos la fuerza eléctrica entre las dos esferas que es:

$F=\frac{Q^2}{2\pi\epsilon_0.x^2}$

Y por el otro tenemos la tensión de cada una de las cuerdas que tiene que compensar el peso de las esferas y la fuerza eléctrica:

$T_y=mg\\T_x=\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0.x^2}$

Con lo cual el ángulo entre las cuerdas y la vertical es:

$tan(\theta)\simeq\theta=\frac{\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0.x^2}}{mg}=\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0.x^2}}\frac{1}{mg}$

A su vez, sobre el ángulo también podemos expresar:

$sen(\theta)\simeq\theta=\frac{\frac{x}{2}}{L}=\frac{x}{2L}$

Entonces la distancia x en función de todos los parámetros queda de esta forma:

$\frac{x}{2L}=\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0.x^2}\frac{1}{mg}\\\\\frac{x^3}{2L}=\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{mg}\\\\x=\sqrt[3]{\frac{Q^2L}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{mg}}$