Question

Dos patrullas salen al mismo tiempo, de dos ciudades diferentes, con la
intención de encontrarse en el camino recto de 200km que une ambas
ciudades. Sabiendo que las velocidades de las patrullas son 90km/h y 60km/h.
Calcular el tiempo que tardan en encontrarse y la distancia que recorre cada
patrulla.

Answer 1

Ambos móviles se encontrarán en 1 hora y 20 minutos

La Patrulla 1 recorrió desde la ciudad A 120 kilómetros hasta el encuentro

La Patrulla 2 recorrió desde la ciudad B 80 kilómetros hasta el encuentro

Se trata de un problema de móviles que marchan en sentidos opuestos

Dado que el problema no dice otra cosa los dos móviles se desplazan en trayectoria recta, a velocidad constante y con aceleración nula. Eso implica recorrer distancias iguales en tiempos iguales (MRU)

Donde

Dos patrullas se mueven en sentidos contrarios con velocidades constantes de 90 km/h y 60 km/h, respectivamente, con la intención de encontrarse

Donde la patrulla 1 sale de la ciudad A hacia la B y la patrulla 2 de la B hacia la A

Se desea saber el tiempo de encuentro si entre las dos ciudades hay 200 km de distancia. Y donde ambos móviles partieron al mismo tiempo o simultáneamente  

Se desea saber qué distancia recorre cada patrulla

Solución

Cálculo del tiempo de encuentro

El instante de tiempo en que los dos móviles están separados 200 km, lo llamaremos t = 0, y  definiremos el origen en el punto donde se encuentra la patrulla 1 en t = 0 de este modo:

Luego

$\large\boxed {\bold { x_{0\ PATRULLA \ 1} = 0 \ , \ \ \ x_{0 \ PATRULLA \ 2} = 200 \ km }}$

$\large\boxed {\bold { V_{PATRULLA \ 1} = 90\ km/h \ , \ \ \ V_{ PATRULLA \ 2 } = 60 \ km/h }}$

Entonces, en cualquier instante posterior de tiempo, las posiciones o trayectorias correspondientes serán:

$\boxed {\bold { x_{\ PATRULLA \ 1} =90 \ km / h \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x_{ \ PATRULLA \ 2} = 200 \ km - 60 \ km/h \ . \ t }}$

Como el tiempo de encuentro será el mismo para ambos móviles, igualamos las ecuaciones

$\large\boxed {\bold { x_{\ PATRULLA \ 1} = x_{\ PATRULLA \ 2 } }}$

$\boxed {\bold {90 \ km/h \ . \ t =200 \ km - 60 \ km/h \ . \ t }}$

$\boxed {\bold {90 \ km/h \ . \ t +60 \ km/h \ . \ t = 200 \ km }}$

$\boxed {\bold {150 \ km/h \ . \ t = 200 \ km }}$

$\boxed {\bold { t = \frac{200\ km }{150 \ km/h} }}$

$\boxed {\bold { t = \frac{200 }{150 } \ h }}$

$\large\textsf{Simplificamos la fracci\'on }$

$\boxed {\bold { t = \frac {\not 50 \ . \ 4 }{\not 50 \ .\ 3 } \ h }}$

$\boxed {\bold { t = \frac{4 }{ 3 } \ h }}$

$\large\boxed {\bold { t =1 \frac{1 }{ 3 } \ h }}$

$\large\textsf{Donde 1 son las horas }$

$\large\textsf{Los minutos ser\'an } \bold{\frac{1}{3} \ hora }\ \ \large\textsf{que equivalen a 20 minutos }$

$\bold{\frac{1}{3} \ hora \ . \ 60 = \frac{60}{3} = 20 \ minutos}$

Por lo tanto ambos móviles se encontrarán en 1 hora y 20 minutos

Hallamos la distancia recorrida para cada uno de los móviles

Por la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

$\boxed {\bold {Distancia_{\ PATRULLA \ 1 } = Velocidad_{\ PATRULLA \ 1} \ . \ Tiempo}}$

Hallamos la distancia recorrida por la patrulla 1 desde que salió al encuentro

$\large\textsf{Con su velocidad de desplazamiento y para el tiempo de encuentro }$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ PATRULLA \ 1 } =90 \ km/h \ . \ \frac{4}{3} \ h }}$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ PATRULLA \ 1 } = \frac{360}{3} \ km }}$

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ PATRULLA \ 1 } =120\ km }}$

La Patrulla 1 recorrió desde la ciudad A 120 kilómetros hasta el encuentro

Por la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

$\boxed {\bold {Distancia_{\ PATRULLA \ 2} = Velocidad_{\ PATRULLA \ 2} \ . \ Tiempo}}$

Hallamos la distancia recorrida por la patrulla 2 desde que salió al encuentro

$\large\textsf{Con su velocidad de desplazamiento y para el tiempo de encuentro }$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ PATRULLA \ 2 } =60 \ km/h \ . \ \frac{4}{3} \ h }}$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ PATRULLA \ 2} = \frac{240}{3} \ km }}$

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ PATRULLA \ 2 } = 80\ km }}$

La Patrulla 2 recorrió desde la ciudad B 80 kilómetros hasta el encuentro

Si sumamos las distancias recorridas por ambos móviles obtendremos la distancia que los separaba al principio

$\boxed {\bold {Distancia_{\ PATRULLA \ 1} + Distancia_{\ PATRULLA \ 2 } =200 \ km }}$

$\boxed {\bold {120 \ km + 80 \ km = 200 \ km }}$

$\boxed {\bold {200 \ km =200 \ km }}$