Question

Dos observadores separados entre sí 15 m. y situados en el mismo plano horizontal, ven simultáneamente el copo de un árbol con ángulos de elevación de 36˚ y 44˚ respectivamente. Hallar la altura del árbol si los observadores están situados a distintos lados del árbol tendidos en el piso.

Answer 1

El árbol tiene 6.22 metros de altura

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Solución

Se representa la situación en un triángulo obtusángulo el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre los dos observadores situados en el mismo plano horizontal. Y los lados AC (b) y BC (a) que equivalen a las respectivas distancias desde cada una de las personas hasta el vértice C donde se encuentra la copa del árbol al cual ambos observan

Donde se pide hallar la altura del árbol

Para facilitar la resolución del problema podemos hallar cualquiera de las dos distancias desde cada uno de los observadores hasta el vértice C donde se encuentra la copa del árbol dado que conocemos la longitud de separación entre los dos observadores y los ángulos que esta medida forma en cada extremo donde se hallan ambos observadores con respecto a sus respectivas distancias hasta donde se encuentra la copa del árbol

Teniendo para la persona ubicada a la izquierda un ángulo de 36°, y para la persona que se ubica a la derecha un ángulo de 44°, donde denotaremos a estos dos ángulos como α y β respectivamente

Dado que la altura del árbol -que es nuestra incógnita- secciona al triángulo obtusángulo en dos triángulos rectángulos ADC y BDC, la altura DC resulta ser el cateto opuesto a los ángulos de 36° y de 44° respectivamente

Por tanto si hallamos empleando la ley del seno cualquiera de las dos distancias desde cada uno de los observadores hasta el vértice C - donde se encuentra la copa del árbol - habremos hallado las hipotenusas de los dos triángulos rectángulos

En donde el cateto opuesto que equivale a la altura del árbol es el mismo para ambos triángulos

Por lo tanto basta con hallar la distancia desde una de las personas -hipotenusa de un triángulo rectángulo- hasta el vértice donde se encuentra la copa o el extremo superior del árbol para hallar luego su altura empleando la razón trigonométrica seno

Luego podemos determinar nuestra incógnita de dos maneras posibles donde arribaremos al mismo resultado  

Donde antes debemos hallar el valor del tercer ángulo del triángulo obtusángulo

Determinamos el valor del tercer ángulo C al cual denotamos como γ  

Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o = 36^o+ 44^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 36^o- 44^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 100^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 100°

Alternativa 1

Hallamos la distancia desde el observador en A hasta la copa del árbol - (b) -

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(44 ^o ) } = \frac{ 15 \ m }{sen(100^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 15 \ m \ . \ sen(44 ^o ) }{sen(100^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 15\ m \ . \ 0.6946583704}{ 0.9848077530} }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 10.419875556 }{ 0.9848077530 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 10.58 \ m }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en ADC para determinar la altura del árbol

$\boxed { \bold { sen(36^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(36^o) = \frac{altura \ arbol }{distancia\ b } }}$

$\boxed { \bold {altura \ arbol= distancia \ b \ . \ sen(36^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ arbol = 10.58\ m \ . \ sen(36^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ arbol= 10.58\ m \ . \ 0.5877852522 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ arbol= 6.22\ m }}$

Alternativa 2

Hallamos la distancia desde el observadoren B hasta la copa del árbol -(a) -

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(36 ^o ) } = \frac{ 15 \ m }{sen(100^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 15 \ m \ . \ sen(36 ^o ) }{sen(100^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 15\ m \ . \ 0.5877852522 }{0.9848077530 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 8.8167787843 }{ 0.9848077530 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 8.95 \ m }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en BDC para determinar la altura del árbol

$\boxed { \bold { sen(44^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(44^o) = \frac{altura \ arbol }{distancia\ a } }}$

$\boxed { \bold {altura \ arbol= distancia \ a \ . \ sen(44^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ arbol =8.95\ m \ . \ sen(44^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ arbol= 8.95\ m \ . \ 0.6946583704 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ arbol= 6.22\ m }}$

Concluyendo que conocida el valor de una hipotenusa de cualquiera de los triángulos rectángulos que se conforman, basta con hallar la altura en uno de ellos para determinar la altura del árbol