Question

Dos lanchas se ubican en dos puntos distintos del borde de un río la distancia horizontal que separa es de 17.5 m y desea llegar a una bolla que se ubica a cierta distancia al hacer un recorrido en línea recta describe un ángulo de 51 y 55 respectivamente ¿cuál es la mayor distancia que recorren las lanchas?

Answer 1

La mayor distancia es la que recorre la lancha que ostenta un ángulo de 51° respecto a la boya.

Se tratará como un Triángulo Oblicuángulo que se resuelve mediante la Ley de los Senos o la Ley del Coseno.

Para mejor comprensión, análisis y solución del problema se plantea el diagrama de la figura anexa. (ver imagen)

Por teoría se conoce que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°.

180° = 55° + 51° + θ

θ = 180° – 55° – 51° = 74°

θ = 74°

Ahora se aplica la Ley de los Senos.

17,5 m/Sen 74° = a/Sen 55° = b/Sen 51°

Calculo de la distancia “a”.

a = 17,5 m (Sen 55°/Sen 74°) = 17,5 m x (0,8191/0,9612) = 17,5 m

x 0,8521 = 14,91 m

a = 14,91 metros

Hallando la distancia “b”.

b = 17,5 m (Sen 51°/Sen 74°) = 17,5 m x (0,7771/0,9612) = 17,5 m x 0,8084 = 14,14 m

b = 14,14 metros

La lancha cuyo ángulo es de 55 grados respecto a la boya, recorre una distancia menor a la otra embarcación.

Answer 2

La lancha A que es la que conforma un ángulo de 51°, recorrerá ≅ 14,913 metros para llegar a la boya

La lancha B que es la que describe un ángulo de 55°, recorrerá ≅ 14,148 metros para llegar a la boya

Concluyendo que es la Lancha A la que recorre la mayor distancia entre las dos naves.  

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, existen dos leyes o teoremas a saber

El teorema del coseno y el teorema del seno

Repasemos,  

Teorema del Coseno:

El teorema del coseno relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados opuestos a estos ángulos respectivamente,

Entonces se cumplen las siguientes relaciones:

$\boxed{\bold {a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A)}}$

$\boxed{\bold {b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B)}}$

$\boxed{\bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C)}}$

Sintetizando el teorema del coseno se emplea para encontrar las partes faltantes de un triángulo no rectángulo cuando las medidas de dos lados y el valor del ángulo incluido son conocidas, o bien se conocen las longitudes de los tres lados.

En ambos casos sería imposible emplear la ley de los senos porque no podemos establecer una relación que pueda resolverse.

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed {\bold {\frac{a}{sen(\alpha )} =\frac{b}{sen (\beta)} = \frac{c}{sen (\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Resolución del problema:

• Con los datos proporcionados en el problema se ve con claridad que es no es posible emplear el teorema del coseno para resolver el triángulo

• Por lo tanto se empleará el teorema del seno para su resolución

En este problema vamos a configurar un imaginario triángulo

Este imaginario triángulo está conformado por el lado AB (lado c) que equivale a la distancia horizontal de separación entre las 2 lanchas -que es de 17,50 metros-  ubicadas en dos puntos distintos del borde del río, el lado AC (lado a) que representa la distancia que debe recorrer la Lancha A hasta llegar al punto donde se encuentra la boya sumergida en el río - conformando un ángulo de 51° entre el plano del río y la boya, y el lado BC (lado b) que resulta ser la distancia que debe recorrer la lancha B para alcanzar el punto donde se halla la boya sumergida en el río -describiendo en este caso un ángulo de 55°- entre el borde del río y la boya.

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Vamos a calcular el valor del ángulo desconocido para aplicar el teorema del seno

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Podemos plantear:

$\boxed {\bold {180\° = 51\° + 55\° + \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180\° - 51\° - 55\° }}$

$\boxed {\bold {\gamma = 74\° }}$

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed {\bold {\frac{c}{sen(\gamma )} =\frac{a}{sen (\alpha)} = \frac{b}{sen (\beta)} }}$

Distancia que recorre la lancha A para llegar al punto donde está la boya

Hallando el lado a

$\boxed {\bold {\frac{c}{sen(\gamma )} =\frac{a}{sen(\alpha)} }}$

$\boxed {\bold {\frac{17,50 \ metros}{sen(\ 74\°)} =\frac{lado\ a}{sen(55\°)} }}$

$\boxed {\bold { lado \ a =\frac{17,50 \ metros \ . \ sen (55\°) }{sen(\ 74\°)} }}$

$\boxed {\bold { lado \ a =\frac{17,50 \ metros \ . \ 0,819152 }{ 0,961269} }}$

$\boxed {\bold { lado \ a \approx 14,913 \ metros }}$

La distancia del lado AC (lado a), que equivale a la distancia que recorre la Lancha A hasta alcanzar la boya es de aproximadamente 14,913 metros

Distancia que recorre la lancha B para llegar al punto donde está la boya

Hallando el lado b

$\boxed {\bold {\frac{c}{sen(\gamma )} =\frac{b}{sen(\beta)} }}$

$\boxed {\bold {\frac{17,50 \ metros}{sen(\ 74\°)} =\frac{lado\ b}{sen(51\°)} }}$

$\boxed {\bold { lado \ b =\frac{17,50 \ metros \ . \ sen (51\°) }{sen(\ 74\°)} }}$

$\boxed {\bold { lado \ b =\frac{17,50 \ metros \ . \ 0,777145 }{ 0,961269} }}$

$\boxed {\bold { lado \ b \approx 14,148 \ metros }}$

La distancia del lado BC (lado b), que equivale a la distancia que recorre la Lancha B hasta alcanzar la boya es de aproximadamente 14,148 metros.