Question

dos lanchas pesqueras parten del mismo punto y a la misma hora. el ángulo que forman al partir es de 65° y la trayectoria de ambas es una línea recta. Sí la velocidad de una de ellas es de 18 km/h mientras que la de la otra es de 15 km/h . ¿qué distancia las separa después de una hora y media?

ayúdenme xfavor :(​

Answer 1

La distancia aproximada que separa a las dos lanchas después de una hora y media de recorrido es de 26.87 kilómetros

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa el punto desde donde salieron las dos lanchas pesqueras a la misma hora con rumbos distintos, donde el lado BC (a) representa la trayectoria de la Lancha A y el lado CA (b) la trayectoria de la Lancha B donde ambos recorridos forman un ángulo de 65°

Donde se pide hallar la distancia que separa a las dos lanchas después de una hora y media de recorrido

Hallamos la distancia recorrida para cada una de las lanchas para 1 hora y media de trayectoria

Donde

$\bold {t = 1 \frac{1}{2} \ hora = 1.5 \ hora }$

Por la ecuación de MRU

Donde

$\large\boxed {\bold { Distancia = Velocidad \ .\ Tiempo } }$

Para la Lancha A

$\boxed {\bold { Distancia_{\ LANCHA\ A} = 18 \ \frac{km}{\not h} \ .\ 1.5\ \not h = 27 \ km} }$

Para la Lancha B

$\boxed {\bold { Distancia_{\ LANCHA \ B} = 15\ \frac{km}{\not h} \ .\ 1.5\ \not h = 22.5 \ km} }$

Habiendo hallado la distancia recorrida por cada una de las lanchas podemos hallar la distancia que los separará después de una hora y media de recorrido

Dado que conocemos la magnitud de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, luego por la ley del coseno determinamos la distancia pedida

La cual está dada por el lado faltante del triángulo

Hallando la distancia que separa a las dos lanchas después de una hora y media de recorrido

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = (27 \ km) ^{2} + (22.5\ km) ^{2} - 2 \ . \ 27\ km \ . \ 22.5\ km \ . \ cos(65^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 729 \ km ^{2} + 506.25 \ km^{2} - 1215 \ km^{2} \ . \ cos(65^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 1235.25 \ km^{2} - 1215 \ km^{2} \ . \ 0.4226182617 }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 1235.25\ km^{2} - 513.48 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 721.77 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 721.77 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 721.77\ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 26.86577\ km }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 26.87 \ km}}$

La distancia aproximada que separa a las dos lanchas después de una hora y media de recorrido es de 26.87 kilómetros

Se adjunta gráfico