Question

Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan $170. Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan $320. ¿Cuál es el costo de seis kilos de manzanas y tres de peras ?

Answer 1

Resolveremos este problema mediante un sistema de ecuaciones lineales. Aquí, lo que no conocemos es el precio de un kilo de peras y el de un kilo de manzanas. Entonces, a estas cantidades desconocidas les asignamos letras.

Después, se formarán ecuaciones de acuerdo a lo que el problema mencione, para luego tener el sistema.

Denotemos como:

• "x" al precio de un kilo de peras
• "y" al precio de un kilo de manzanas

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Expresamos:

• $\textsf{Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan } \ 170: \red{\boxed{\mathsf{2x + 3y = 170}}}$
• $\textsf{Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan } \ 320: \red{\boxed{\mathsf{5x + 4y = 320}}}$

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Nuestro sistema de ecuaciones es:

$\large{\begin{cases} \textsf{2x + 3y = 170} \\ \textsf{5x + 4y = 320} \end{cases}}$

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Hay diversos métodos para resolver el sistema de ecuaciones. Esta vez, resolveremos por el método de sustitución. Este consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones, y ese valor se reemplaza en la otra ecuación.

Despejamos "x" en la primera ecuación:

$\large{\textsf{ 2x + 3y = 170 }}$

         $\large{\textsf{ 2x = 170 - 3y }}$

          $\large{\boxed{x = \dfrac{170 - 3y}{2}}}$

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Este valor de "x" lo sustituimos en la segunda ecuación:

                     $\large{\textsf{ 5x + 4y = 320 }}$

$\large{\textsf{ 5\left(\dfrac{170 - 3y}{2}\right) + 4y = 320 }}$

   $\large{\textsf{ \dfrac{5(170 - 3y)}{2} + 4y = 320 }}$

      $\large{\textsf{ \dfrac{850 - 15y}{2} + 4y = 320 }}$

               $\large{\textsf{ \dfrac{850 - 15y}{2} = 320 - 4y }}$

                $\large{\textsf{ 850 - 15y = 2(320 - 4y) }}$

                $\large{\textsf{ 850 - 15y = 640 - 8y }}$

                $\large{\textsf{ 850 - 640 = - 8y + 15y }}$

                            $\large{\textsf{ 210 = 7y }}$

                     $\large{\textsf{ 210 \div 7 = y }}$

                            $\red{\large{\boxed{\bold{30 = y}}}}$

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Bien, ya conocemos el valor de "y". Ahora, ese valor reemplazamos en cualquier ecuación para hallar el valor de "x":

     $\large{\textsf{ 2x + 3y = 170 }}$

$\large{\textsf{ 2x + 3(30) = 170 }}$

    $\large{\textsf{ 2x + 90 = 170 }}$

              $\large{\textsf{ 2x = 170 - 90 }}$

              $\large{\textsf{ 2x = 80 }}$

               $\large{\textsf{ x = 80 \div 2 }}$

              $\red{\large{\boxed{\bold{x = 40}}}}$

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Entonces:

• Un kilo de peras cuesta $40
• Un kilo de manzanas cuesta $30

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Calculamos lo que pide: el costo de seis kilos de manzanas y tres kilos de peras.

$\large{\textsf{ 6(\ 30) + 3(\ 40) }}$

$\large{\textsf{ = \ 180 + \ 120 }}$

$\red{\large{\textsf{= } \boxed{\bold{\ 300}}}}$

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Respuesta.

Seis kilos de manzanas y tres de peras cuestan $300.

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