Question

Dos ingenieros están intentado fabricar fuegos artificiales. Para ello tienen varias sustancias en frasquitos con las letras A, B, C, D y E. Ellos saben que con tres de esas sustancias lograrían obtener los fuegos artificiales. Mezclan las sustancias A, B y C, acercan un fósforo y no pasa nada. Luego prueban mezclando A, C y D y nada. ¿Cuántas combinaciones diferentes se podrán hacer mezclando tres sustancias de las cinco que tienen?

Answer 1

Introduzcamos un concepto teórico para realizar este problema.
En combinatoria, la operación para calcular la cantidad de formas distintas que tengo de llevarme cierta cantidad de objetos de un grupo, es conocida como combinaciones, esta se escribe:

$\binom{n}{k}$

Esto es equivalente a:

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\times (n-k)!}$

Aclaración:
$n!=1\times 2\times ...\times (n-1)\times n$
$5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$

Ahora que tenemos el marco teórico, pasamos a resolver el problema.
En este caso, queremos saber la cantidad de formas diferentes de llevarnos $3$ objetos de entre $5$, por lo tanto hacemos la combinación:

$\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\times (5-3)!}$

$\binom{5}{3}=\frac{120}{6\times 2}$

$\binom{5}{3}=\frac{120}{12}$

$\binom{5}{3}=10$

Por lo tanto, los ingenieros podrán hacer $10$ combinaciones distintas con las sustancias que tienen.