Question

Dos focos situados en el suelo y en lados distintos, iluminan el campanario de una iglesia. La suma de las distancias de los focos hasta el pie de la torre es de 200 m. Si los ángulos que forman los haces de luz con el suelo son de 35º y 48° respectivamente. ¿Qué altura tiene el campanario?
Ayuda por favor ​

Answer 1

El campanario se encuentra a 85.90 metros de altura

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  

Representamos la situación en un triángulo obtusángulo ABC:  el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre los dos focos que se sitúan en lados distintos. Y los lados AC (b) y BC (a) que equivalen a las respectivas líneas de visión y también las longitudes de los haces de luz desde cada uno de los focos hasta la cima de la iglesia donde se encuentra el campanario

Donde se pide hallar qué altura tiene el campanario

Para facilitar la resolución del problema podemos hallar cualquiera de las dos distancias desde cada uno de los focos hasta donde se encuentra el campanario -ubicado en el vértice C-, dado que conocemos la longitud de separación entre los dos focos y los ángulos que estos forman en cada extremo donde se encuentran ambos ubicados con respecto al suelo o plano horizontal

Teniendo para el foco ubicado a la izquierda un ángulo de elevación de 35°, y para el foco que se ubica a la derecha un ángulo de elevación de 48°, donde denotamos a estos dos ángulos como α y β respectivamente

Dado que la altura a la que se encuentra el campanario de la iglesia -que es nuestra incógnita- secciona al triángulo obtusángulo en dos triángulos rectángulos ADC y BDC, la altura DC resulta ser el cateto opuesto a los ángulos de 35° y de 48° respectivamente

Por tanto si hallamos empleando el teorema del seno cualquiera de las dos distancias desde cada uno de los focos hasta donde se encuentra el campanario -en el vértice C -  habremos hallado las hipotenusas de los dos triángulos rectángulos

En donde el cateto opuesto que equivale a la altura es el mismo para ambos triángulos

Si el seno de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

Por lo tanto basta con hallar la distancia desde uno de los focos -hipotenusa de un triángulo rectángulo- hasta el vértice donde se encuentra el campanario para hallar luego la altura empleando la razón trigonométrica seno

Luego podemos determinar nuestra incógnita de dos maneras posibles donde arribaremos al mismo resultado  

Donde debemos hallar el valor del tercer ángulo del triángulo obtusángulo

Determinamos el valor del tercer ángulo C al cual denotamos como γ

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o = 35^o+ 48^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 35^o- 48^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 97^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 97°

Alternativa 1

Hallamos la distancia desde el foco A hasta el campanario -lado AC (b) -

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(48 ^o ) } = \frac{ 200 \ m }{sen(97^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 200 \ m \ . \ sen(48 ^o ) }{sen(97^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 200\ m \ . \ 0.7431444825477}{0.992546151641 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 148.6289650954 }{ 0.992546151641 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 149.75 \ m }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el cateto opuesto en ADC para determinar la altura del campanario

$\boxed { \bold { sen(35^o )= \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(35^o )= \frac{h\ campanario }{distancia\ b } }}$

$\boxed { \bold {h \ campanario= distancia \ b \ . \ sen(35^o) }}$

$\boxed { \bold {h \ campanario= 149.75 \ m \ . \ sen(35^o) }}$

$\boxed { \bold {h \ campanario= 149.75\ m \ . \ 0.573576436351 }}$

$\large\boxed { \bold {h\ campanario= 85.9 \ m }}$

Alternativa 2

Hallamos la distancia desde el foco B hasta el campanario -lado BC (a) -

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(35 ^o ) } = \frac{ 200 \ m }{sen(97^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 200 \ m \ . \ sen(35 ^o ) }{sen(97^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 200\ m \ . \ 0.573576436351}{0.992546151641 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 114.7152872702 }{ 0.992546151641 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 115.58\ m }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el cateto opuesto en BDC para determinar la altura del campanario

$\boxed { \bold { sen(48^o )= \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(48^o )= \frac{ h \ campanario}{distancia\ a } }}$

$\boxed { \bold {h \ campanario= distancia \ a \ . \ sen(48^o) }}$

$\boxed { \bold {h \ campanario= 115.58 \ m \ . \ sen(48^o) }}$

$\boxed { \bold { h \ campanario= 115.58\ m \ . \ 0.7431444825477}}$

$\large\boxed { \bold {h \ campanario= 85.9 \ m }}$

Concluyendo que conocida el valor de una hipotenusa de cualquiera de los triángulos rectángulos que se conforman, basta con hallar la altura en uno de ellos para determinar la altura del campanario