Question

Dos estaciones A y B están separadas 2500 km. De A sale un tren hacia B con
velocidad de 90 km/h y simultaneamente sale un tren de B hacia A con velocidad
60 km/h. Calcular a que distancia de A se cruzan y a qué tiempo después de haber
partido.​

Answer 1

Ambos trenes se encontrarán en 16 horas y 40 minutos

El Tren 1 recorrió desde la estación A 1500 kilómetros hasta el encuentro. Por lo tanto los dos trenes se cruzan o se encuentran a 1500 kilómetros de distancia de la estación A

Se trata de un problema de móviles que marchan en sentidos opuestos

Dado que el problema no dice otra cosa los dos móviles se desplazan en trayectoria recta, a velocidad constante y con aceleración nula. Eso implica recorrer distancias iguales en tiempos iguales (MRU)

Donde

Dos trenes se mueven en sentidos contrarios con velocidades constantes de 90 km/h y 60 km/h, respectivamente.

Donde el Tren 1 sale de la estación A hacia la B y el Tren 2 de la B hacia la A

Se desea saber a qué distancia de la estación A se encuentran

Se desea saber el tiempo de encuentro si entre las dos estaciones hay 2500 km de distancia. Y donde ambos móviles partieron simultáneamente o a la misma hora

Solución

Calculo del tiempo de encuentro

El instante de tiempo en que los dos móviles están separados 1500 km, lo llamaremos t = 0, y  definiremos el origen en el punto donde se encuentra el Tren 1 en t = 0 de este modo:

Luego

$\large\boxed {\bold { x_{0\ TREN \ 1} = 0 \ , \ \ \ x_{0 \ TREN \ 2} = 2500 \ km }}$

$\large\boxed {\bold { V_{\ TREN \ 1} = 90\ km/h \ , \ \ \ V_{\ TREN \ 2} = 60 \ km/h }}$

Entonces, en cualquier instante posterior de tiempo, las posiciones o trayectorias correspondientes serán:

$\boxed {\bold { x_{\ TREN \ 1} =90 \ km / h \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x_{TREN \ 2 } = 2500 \ km -60 \ km/h \ . \ t }}$

Como el tiempo de encuentro será el mismo para ambos, igualamos las ecuaciones

$\large\boxed {\bold { x_{\ TREN \ 1} = x_{\ TREN\ 2} }}$

$\boxed {\bold {90 \ km/h \ . \ t = 2500 \ km - 60 \ km/h \ . \ t }}$

$\boxed {\bold {90 \ km/h \ . \ t +60 \ km/h \ . \ t = 2500 \ km }}$

$\boxed {\bold {150 \ km/h \ . \ t = 2500 \ km }}$

$\boxed {\bold { t = \frac{2500 \ \not km }{150 \ \not km/h} }}$

$\boxed {\bold { t = \frac{2500 }{150 } \ h }}$

$\large\textsf{Simplificamos la fracci\'on }$

$\boxed {\bold { t = \frac{\not 50 \ . \ 50 }{\not 50 \ .\ 3 } \ h }}$

$\boxed {\bold { t = \frac{50 }{ 3 } \ h }}$

$\large\textsf{Convertimos la fracci\'on a un n\'umero mixto }$

Para ello dividimos el numerador entre el denominador. El cociente será la parte entera del número, y el residuo será el numerador de la fracción restante, que tendrá el mismo denominador que la fracción original.  

Al dividir 50 entre 3 se obtiene 16 y sobran 2. Es decir el cociente es 16 y el resto es 2

Obteniendo

$\large\boxed {\bold { t =16 \frac{2 }{ 3 } \ h }}$

$\large\textsf{Donde 16 son las horas }$

$\large\textsf{Los minutos ser\'an } \bold{\frac{2}{3} \ hora }$

$\bold{\frac{2}{3} \ hora \ . \ 60 = \frac{120}{3} = 40 \ minutos}$

Por lo tanto ambos trenes se encontrarán en 16 horas y 40 minutos

Calculamos a que distancia de la estación A se produce el encuentro

Por la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

$\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ 1 } = Velocidad_{\ TREN \ 1} \ . \ Tiempo}}$

Hallamos la distancia recorrida por el Tren 1 desde que salió desde la estación A al encuentro

$\large\textsf{Con su velocidad de desplazamiento y para el tiempo de encuentro }$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ 1} =90 \ km/h \ . \ \frac{50}{3} \ h }}$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN 1} = \frac{4500}{3} \ km }}$

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ 1} = 1500\ km }}$

El Tren 1 recorrió desde la ciudad A 1500 kilómetros hasta el encuentro

Por lo tanto los dos trenes se encuentran a 1500 kilómetros de distancia de la estación A

Aunque el enunciado no lo pida hallamos la distancia recorrida por el Tren 2 desde que salió de la estación B

Por la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

$\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ 2} = Velocidad_{\ TREN \ 2} \ . \ Tiempo}}$

Hallamos la distancia recorrida por el Tren 2 desde que salió al encuentro

$\large\textsf{Con su velocidad de desplazamiento y para el tiempo de encuentro }$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ 2} =60 \ km/h \ . \ \frac{50}{3} \ h }}$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN\ 2} = \frac{3000}{3} \ km }}$

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ 2} =1000 \ km }}$

El Tren 2 recorrió desde la estación B 1000 kilómetros hasta el encuentro

Si sumamos las distancias recorridas por ambos móviles obtendremos la distancia que los separaba al principio

$\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ 1} + Distancia_{\ TREN \ 2} = 2500 \ km }}$

$\boxed {\bold {1500 \ km + 1000 \ km = 2500 \ km }}$

$\boxed {\bold {2500 \ km = 2500 \ km }}$