DOS EJEMPLOS DE LA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN UN EJEMPLO QUE ABRA HACIA "X" Y OTRO QUE ABRA HACIA "Y".
Respuestas a la pregunta
Explicación paso a paso:
Ecuación Ordinaria
La ecuación ordinaria para este tipo de parábola horizontal es la siguiente:
Ecuación Ordinaria de la Parábola Horizontal
Ecuación General
La ecuación general de la parábola es la siguiente:
\displaystyle C{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0
Elementos de la parábola
Se considera que la parábola posee su vértice “V” justamente en el punto (h,k) “Note las líneas punteadas color naranja en la gráfica”.
1️⃣ Vértice:
\displaystyle V(h,k)
2️⃣ Foco:
\displaystyle F(h+p,k)
3️⃣ Directriz:
\displaystyle \overline{D{D}'}:x=h-p
4️⃣ Lado Recto:
\displaystyle \overline{LR}=\left| 4p \right|
5️⃣ Ecuación del eje:
\displaystyle y=k
Concavidad
Si p > 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia la derecha.
Si p < 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia la izquierda.
Parábola Vertical con Vértice (h, k)
Veamos la gráfica:
Parábola Vertical fuera del Origen
Ecuación Ordinaria
La ecuación ordinaria para este tipo de parábola horizontal es la siguiente:
Ecuación General
La ecuación general de la parábola es la siguiente:
\displaystyle A{{x}^{2}}+Dx+Ey+F=0
Elementos de la parábola
Se considera que la parábola posee su vértice “V” justamente en el punto (h,k) “Note las líneas punteadas color naranja en la gráfica”.
1️⃣ Vértice:
\displaystyle V(h,k)
2️⃣ Foco:
\displaystyle F(h,k+p)
3️⃣ Directriz:
\displaystyle \overline{D{D}'}:y=k-p
4️⃣ Lado Recto:
\displaystyle \overline{LR}=\left| 4p \right|
5️⃣ Ecuación del eje:
\displaystyle x=h
Concavidad
Si p > 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia arriba.
Si p < 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia abajo.
Ejercicios Resueltos de la Parábola con Vértice fuera del Origen
Veamos algunos ejemplos resueltos para la parábola con vértice fuera del origen.
Ejemplo 1. Determina la ecuación general de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-5, 2) y (-1, 2) respectivamente.
Solución:
Si graficamos los dos puntos que nos dan como referencia, que es el vértice y foco podremos saber hacía donde abrirá nuestra parábola, e incluso el tipo de ecuación que usará. Veamos:
Parábolas ejercicio resuelto
Al ver la imagen sabemos que se trata de una parábola que abre hacia la derecha, y que tiene su eje paralelo al eje “x”. Por lo que la ecuación de dicha parábola tendrá la siguiente forma:
\displaystyle {{(y-k)}^{2}}=4p(x-h)
Si el vértice tiene coordenadas (-5 ,2)
Entonces:
h = -5
k = 2
El foco tiene coordenadas ( -1 , 2), la distancia que hay desde el vértice al foco es de 4 unidades, lo podemos medir gráficamente o lo podemos calcular mediante su fórmula, veamos:
\displaystyle F(h+p,k)
Si sabemos que:
\displaystyle h+p=-1
Pero también sabemos que h = -5
\displaystyle -5+p=-1
Despejando a “p”
\displaystyle p=-1+5=4
Por lo que
p = 4
Ahora, sustituimos nuestros datos en la fórmula:
\displaystyle {{(y-k)}^{2}}=4p(x-h)
\displaystyle {{(y-2)}^{2}}=4(4)(x-(-5))
Resolviendo las operaciones básicas
\displaystyle {{y}^{2}}-4y+4=16x+80
Igualamos la ecuación a cero
\displaystyle {{y}^{2}}-4y+4-16x-80=0
Ordenando y reduciendo:
▶ Resultado:
\displaystyle {{y}^{2}}-4y-16x-76=0
Veamos la gráfica de nuestra parábola:
Vértice fuera del origen
Ejemplo 2. Determina los elementos de la parábola (vértice, foco, directriz, eje y lado recto) y grafica x² -2x -16y + 81 = 0
Solución:
Al observar la ecuación de la parábola, podemos darnos cuenta que el término cuadrático lo posee “y”, entonces se trata de una parábola horizontal, para comenzar a resolver este tipo de problemas, agrupamos los términos con “y” en el primer miembro de la igualdad.
\displaystyle {{x}^{2}}-2x=16y-81
Paso 1: Se completa el trinomio al cuadrado perfecto en el primer miembro, y después se factoriza.
\displaystyle {{x}^{2}}-2x+1=16y-81+1
\displaystyle {{(x-1)}^{2}}=16y-80
Paso 2: Se factoriza el segundo miembro de la igualdad, tomando como factor común a 16
\displaystyle {{(x-1)}^{2}}=16(y-5)
La ecuación que se obtiene es de la forma: (y-k)²=4p (x-h)
Donde:
h = 1
k = 5
p = 4
¿Por qué p = 4?
\displaystyle \begin{array}{*{35}{l}} 4p=16 \\ p=\frac{16}{4}=4 \\ \end{array}
Encontrando los elementos de la parábola.
a) Obteniendo el Vértice de la Parábola
Para el vértice, debemos aplicar la fórmula V(h,k)
\displaystyle V(h,k)=(1,5)
b) Obteniendo el foco
\displaystyle F(h,k+p)=(1,5+4)=(1,9)
\displaystyle F(1,9)
c) Obteniendo la directriz
\displaystyle y=k-p=5-4=1
\displaystyle y=1
d) Obteniendo el Lado Recto
\displaystyle LR=\left| 4p \right|=\left| 4(4) \right|=\left| 16 \right|=16
\displaystyle LR=16
e) Obteniendo la ecuación del eje
\displaystyle x=h=1
\displaystyle x=1