Question

Dos edificios de altura H y h están separados ciertas distancias. Desde el punto más alto del edificio de altura H se observa a los puntos más altos y más bajos del otro edificio con un ángulo de depresión de 30° y 60° respectivamente. Hallar H/h

Answer 1

La razón H/h entre los dos edificios es igual a 3/2

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

El triángulo dado es un triángulo notable.

Luego el problema planteado se resolverá con la sencillez y simplicidad que nos dan los triángulos notables y sus razones trigonométricas

Se pide hallar la razón H/h de dos edificios de alturas desconocidas, donde se sabe que desde el edificio de mayor altura H se observa al punto más alto y más bajo del otro edificio h con ángulos de depresión de 30° y 60° respetivamente. Donde H > h

Ambos edificios se encuentran separados por cierta distancia a la que denotaremos como x. Siendo esta magnitud la misma sobre la línea de suelo o a la altura a la que se encuentre la diferencia de nivel entre estos edificios. Dado que ambas líneas son paralelas por tanto mantienen la misma pendiente

Con respecto a la altura de los edificios, apoyados sobre el plano de suelo, perpendiculares a este, las líneas perpendiculares se intersectan en ángulos rectos

Si tenemos en cuenta lo expresado y teniendo ángulos de depresión dados, las dos líneas paralelas se comportan para un triángulo rectángulo como los catetos adyacentes, y las perpendiculares resultan ser los catetos opuestos.  

Por tanto para resolver este problema si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, emplearemos esa razón trigonométrica

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Siendo x la misma distancia plantearemos un sistema de ecuaciones

Donde la línea trazada para representar el ángulo de depresión desde donde se observa desde el edificio H el extremo superior e inferior del otro edificio h, conforman junto a las líneas perpendiculares al piso que forman ambas construcciones un ángulo de 90°

Si desde H se observa la parte superior de h con un ángulo de depresión de 60°, por ángulos complementarios restamos de 90° el valor de 60°

$\boxed {\bold { 90\° - 60\° = 30\°}}$

Planteando que

$\boxed{\bold { x = H \ . \ tan \ 30\°}}$

Y del mismo modo

$\boxed{\bold { x = (H -h)\ . \ tan \ 60\°}}$

Luego como x = x - Igualamos ambas expresiones

$\boxed{\bold { (H -h)\ . \ tan \ 60\° = H \ . \ tan\ 30\° }}$

Recordando que como tenemos ángulos notables

$\boxed{\bold { tan \ 60\° = \sqrt{3} }}$

$\boxed{\bold { tan \ 30\° = \frac{ \sqrt{3} }{3} }}$

Reemplazando en

$\boxed{\bold { (H -h)\ . \ tan \ 60\° = H \ . \ tan\ 30\° }}$

$\boxed{\bold { (H -h)\ . \ \sqrt{3} = H \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{3} }}$

$\boxed{ \bold { 3(H-h) \ . \ \sqrt{3} = H \ . \ \sqrt{3}}}$

$\boxed{ \bold{ 3(H-h) = H }}$

$\boxed{ \bold { 3H - 3h = H}}$

$\boxed {\bold { 3H - H = 3h}}$

$\boxed {\bold { 2H = 3h}}$

$\boxed {\bold { \frac{H}{h} = \frac{3}{2} }}$