Question

dos de los ángulos interiores de un triangulo miden 30° y 55°. si el lado opuesto del menor de esos mide 11,5 cm , determina la longitud del lado mayor.

Answer 1

El lado mayor del triángulo propuesto resulta ser el lado cuya longitud es de aproximadamente 22,91 centímetros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Debemos resolver un triángulo teniendo como datos dos ángulos interiores y un lado conocidos. Como el lado dado se opone al ángulo menor del triángulo y conocemos su valor emplearemos la ley de senos

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed {\bold { \frac{ a}{ sen(\alpha) } = \frac{b}{ sen(\beta) } = \frac{c}{ sen(\gamma) } }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Hallando el valor del ángulo γ

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo  Vamos a hallar el valor del tercer ángulo

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed{\bold { 180\° = 30\° + 55\° + \gamma}}$

$\boxed{\bold { \gamma = 180\° - 30\° - 55\° }}$

$\boxed{\bold { \gamma = 95\° }}$

El ángulo γ tiene un valor de 95°

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed {\bold { \frac{ a}{ sen(\alpha) } = \frac{b}{ sen(\beta) } = \frac{c}{ sen(\gamma) } }}$

Hallando el lado a (lado AC)

$\boxed {\bold { \frac{ a}{ sen(\alpha) } = \frac{b}{ sen(\beta) } } }}$

$\boxed {\bold { \frac{ a}{ sen( 55\° ) } = \frac{11,5 \ cm}{ sen(30\°) } } }}$

$\boxed {\bold { a =\frac{11,5 \ cm \ \ . \ sen( 55\°) }{ sen(30\°) } } }}\ .$    

$\boxed {\bold { a =\frac{11,5 \ cm \ \ . 0,8191520442889 }{ 0,5 } } }}\ .$    

$\boxed {\bold { a =\frac{9,4202485093223 }{ 0,5 } } }}\ .$

$\boxed {\bold { a = 18,8404 }}$

$\boxed {\bold { a \approx 18,84 \ cm }}$

El lado a (lado AC) tiene una longitud de ≅ 18,84 centímetros

Hallando el lado c (lado AB)

$\boxed {\bold { \frac{b}{ sen(\beta) } = \frac{c}{ sen(\gamma) } }}$

$\boxed {\bold { \frac{11,5 \ cm }{ sen(30\°) } = \frac{c}{ sen(95\°) } }}$

$\boxed {\bold { c = \frac{11,5 \ cm \ . \ sen(95\°) } { sen(30\°) } }}$

$\boxed {\bold { c = \frac{11,5 \ cm \ . 0,9661946980917 } { 0,5 } }}$

$\boxed {\bold { c = \frac{11,456239028055 } { 0,5 } }}$

$\boxed {\bold { c = 22,9124 }}$

$\boxed {\bold { c \approx 22,91 \ cm }}$

El lado c (lado AB) tiene una longitud de ≅ 22,91 centímetros      

Luego el lado de mayor longitud del triángulo propuesto resulta ser el lado cuya longitud es de aproximadamente 22,91 centímetros