Question

Dos compañías A y B ofrecen servicio de taxi. La tarifa de la compañía A es de S/5 por servicio más S/2 por cada kilómetro recorrido; la compañía B cobra únicamente S/3 por cada kilómetro recorrido. Grafica ambas situaciones en el plano cartesiano ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) A partir de 4 km conviene contratar el taxi A.

b) A partir de 5 km conviene contratar el taxi A.

c) A partir de 5 km conviene contratar el taxi B.

d) A partir de 6 km conviene contratar el taxi A.

porfavor quiero un ejemplo de "Graficar ambas situaciones en el plano cartesiano". :( aiuda.

Answer 1

La afirmación correcta es: "A partir de 5 km conviene contratar el taxi A."- Opción b -

Procedimiento:

Se trata de un problema de funciones lineales en la vida cotidiana.  

Donde se desea saber dadas dos compañías de servicio de taxi A y B cuál de las afirmaciones dadas es la correcta.

El ejercicio se resolverá por tres procedimientos diferentes en donde se arribará al mismo resultado o conclusión.

Primero modelaremos las funciones como funciones lineales

Una función lineal se define por la forma

$\boxed {\bold{ f(x) = mx + b}}$

ó

$\boxed { \bold { y =mx + b}}$

Llamada esta última ecuación canónica

Donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y

Se tiene a la Compañía A de taxis que cobra $ 5 por su servicio y $ 2 por cada kilómetro recorrido

$\boxed {\bold{ f(x) = 2x + 5}}$

Donde x representa a la cantidad de kilómetros

2 es la pendiente de la recta en donde por cada unidad recorrida en x la recta sube 2 unidades en y. Luego 5 -la tarifa fija por servicio- es el intercepto en el eje Y (o donde la recta se cruza con el eje Y)

Se tiene a la Compañía B de taxis que cobra $ 3 por cada kilómetro recorrido

$\boxed{ \bold{ f(x) = 3x}}$

Donde x representa a la cantidad de kilómetros

3 es la pendiente de la recta en donde por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y. Donde el intercepto con el eje Y se encuentra en el origen

Siendo para ambos casos - Compañía A y Compañía B- funciones crecientes, dado que ambas pendientes tienen valores positivos

Y donde las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales dado que a mayor cantidad de kilómetros recorridos se abonará mayor cantidad de dinero por el viaje  

A) Solución gráfica

Llevamos las dos ecuaciones al plano cartesiano y las graficamos como se muestra en la figura adjunta.

Observamos que las dos rectas se intersectan en el par ordenado (5,15), lo que significa que la compañía A y B para 5 km de recorrido cobran lo mismo.  

Luego a partir de 5 km el costo total del recorrido es siempre menor para la compañía A que para la compañía B, por lo que podemos concluir que:

A partir de 5 km conviene contratar el taxi A

B) Solución Tabular

Elaboramos una tabla con los datos dados para las dos compañías A y B donde según los siguientes valores:

En donde aquí mostramos un fragmento de la tabla que se agrega como adjunto

$\begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} \textbf{Kil\'ometros}& \textbf{Compa\~n\'ia A } &\textbf{Compa\~n\'ia B }\\ \cline{1-3} \textbf{4 km} & \text{\ 13} & \text{\ 12}\\\cline{1-3} \textbf{4.5 km} & \text{\ 14} & \text{\ 13.5}\\\cline{1-3} \textbf{5 km} & \text{\ 15} & \text{\ 15}\\\cline{1-3} \textbf{5.5 km} & \text{\ 16} & \text{\ 16.5}\\\cline{1-3}\textbf{6 km} &\text{\ 17} & \text{\ 18}\\\cline{1-3}\textbf{6.5 km} &\text{\ 18} &\text{\ 19.5}\\\cline{1-3}\end{array}$

Observando la tabla, podemos arribar a la misma conclusión que en el apartado anterior. Notamos que para recorridos de menos de 5 km es más económico la compañía B. Para un recorrido de 5 km los valores del costo total son indistintos para ambas compañías, dado que son equivalentes. Pero a partir de este valor vemos que los precios de B tienden a aumentar más rápido que los de la compañía A.

Por tanto, concluimos que A partir de 5 km conviene contratar el taxi A  

C) Solución con inecuaciones

Podemos resolver el ejercicio planteando una inecuación de primer grado. Estableciendo como premisa:

$\boxed {\bold { Tarifa\ Compa\~n\'ia \ A<\ Tarifa \ Compa\~n\'ia \ B}}$

Reemplazamos con las ecuaciones para A y B

$\boxed{ \bold {2x + 5 < 3x}}$

$\boxed{\bold { 2x - 3x < -5 }}$

$\boxed {\bold{ -x < - 5 }}$

Multiplicamos por -1 e invertimos el signo

$\boxed{ \bold{ x > 5}}$

Finalmente obtenemos que, a partir de 5 km, la tarifa de la compañía A es menor que la de B.

Por tanto, se concluye que A partir de 5 km conviene contratar el taxi A  

CONCLUSIONES

Después de haber empleado 3 métodos diferentes para la resolución del ejercicio concluimos que por encima (a partir) de los 5 km de recorrido el costo total que brinda la compañía A es menor que el de la compañía B.  

Por tanto a partir de la distancia de viaje solicitada de 5 km se debe optar por la compañía A para hacer el mismo viaje pagando una menor cantidad de dinero que si se viaja por la compañía B.

Concluyendo que la afirmación válida de las cuatro dadas como posibles es: “A partir de 5 km conviene contratar el taxi A “  (Opción B)

Comentario:

Circula una respuesta en las redes y en otros medios que da como opción válida la que afirma  “A partir de 6 km conviene contratar el taxi A.”

Donde esta afirmación es incorrecta y se puede demostrar que es errónea tal premisa tanto gráficamente como probando valores comprendidos entre 5 y 6.

Luego para cualquier valor a partir de 5 la compañía A será la más económica