Question

Dos ciclistas parten del reposo moviendose en sentidos opuestos sobre una pista circular de radio igual
a 50 metros Si la aceleracion angular del ciclista A es de ace. igual 2 pi rd sobre s2 y la de B es de ace. igual 3 pi rd sobre s2 determine
A El tiempo y la posicion en que se
encuentran
B ¿Cuales son las velocidades angulares
Wa y Wb en el instante en que se
encuentran?
C En el momento en que se encuentran ¿que angulo forman sus vectores aceleración total?

Answer 1

El tiempo y la posición en que se  encuentran  los ciclistas es ФB = (6/5)*π,  t = 0.89s

Las velocidades angulares  Wa y Wb en el instante en que se  encuentran  son ωA= 5.59 rd/s,  ωB= 8.39 rd/s

En el momento en que se encuentran el angulo forman sus vectores aceleración total es DФ = 19°

Un cuerpo realiza un movimiento circular uniformemente acelerado (m.c.u.a.) cuando su trayectoria es una circunferencia y su aceleración angular es constante.

Datos:

αA: Aceleración angular del ciclista "A", αA = 2*π rd/s²

αB: Aceleración angular del ciclista "B", αB = 3*π rd/s²

r: Radio de curvatura, r = 50 m

Definimos el angulo que recorre el ciclista "B" desde que inicia el movimiento hasta que se encuentran como "ФB" entonces el angulo que recorre el ciclista "A" es ФA = 2*π - ФB

Por ser un  (m.c.u.a.), usamos la siguiente ecuación:

• ФA = Фo + ωo*t  +  (1/2)*αA * t²
• ФA = 0 + 0  +  (1/2)*2*π rd/s² * t²
• 2*π - ФB = π rd/s² * t²
• 1)    t² = (2*π - ФB) / π rd/s²

• ФB = Фo + ωo*t  +  (1/2)*αB * t²
• ФB = 0 + 0  +  (1/2)*3*π rd/s² * t²
• ФB = (3/2)*π rd/s² * t²
• 2)    t² = ФB /  (3/2)*π rd/s²

Se iguala ecuación 1) y ecuación 2):

• (2*π - ФB) / π rd/s² = ФB /  (3/2)*π rd/s²
• (3/2) rd/s² * (2*π - ФB) = ФB rd/s²
• (6/2)*π rd/s²  - (3/2) rd/s² * ФB = ФB rd/s²
• ФB rd/s² + (3/2) rd/s² * ФB = 3*π rd/s²
• (5/2) rd/s² * ФB = 3*π rd/s²
• ФB = (6/5)*π

El valor de ФB se sustituye en ecuación 2):

• t² = ФB /  (3/2)*π rd/s²
• t² = (6/5)*π /  (3/2)*π rd/s²
• t² = (12/15)s²
• t = 0.89s

Las velocidades angulares se calculan por la siguiente ecuación:

• ωA= ωo + αA * t
• ωA= 0 + 2*π rd/s² * 0.89s
• ωA= 5.59 rd/s

ωB= ωo + αB * t

ωB= 0 + 3*π rd/s² * 0.89s

ωB= 8.39 rd/s

Para hallar la aceleración total de cada ciclista debemos hallar su aceleración tangencial "at" y aceleración centripeta "ac", para hallar su aceleración centripeta necesitamos el modulo de sus velocidades tangenciales "Vt":

• VtA = ωA * r
• VtA = 5.59 rd/s * 50m
• VtA = 279.5 m/s

• VtB = ωA * r
• VtB = 8.39 rd/s * 50m
• VtB = 419.5 m/s

Con estos valores calculamos los módulos de las aceleraciones centripetas:

• acA = VtA² / r
• acA = (279.5 m/s)² / 50m
• acA = 1562.4 m/s²

• acB = VtA² / r
• acB = (419.5 m/s)² / 50m
• acB = 3519.6 m/s²

Ahora calculamos los módulos de  aceleraciones tangenciales:

• atA = αA * r
• atA = 2*π rd/s² * 50m
• atA = 314.2m/s²

• atB = αA * r
• atB = 3*π rd/s² * 50m
• atB = 471.2m/s²

Ahora los módulos de las aceleraciones totales se calculan por teorema de pitagoras:

• aTA = √(  (acA)² + (atA)²  )
• aTA = √(  (1562.4 m/s²)² + (314.2m/s²)²  )
• aTA = 1593.6 m/s²

• aTB = √(  (acB)² + (atB)²  )
• aTB = √(  (3519.6 m/s²)² + (471.2m/s²)²  )
• aTB = 3.551,0 m/s²

Calculamos el angulo que forman las aceleraciones totales con el radio del punto de encuentro:

• tg α = atA / acA
• tg α = 314.2m/s² / 1562.4 m/s²
• tg α = 0.20
• α = 11.37°

• tg β = atB / acB
• tg β = 471.2m/s² / 3519.6 m/s²
• tg β = 0.13
• β = 7.63°

Entonces el angulo entre los vectores aceleración total es la suma de α + β:

• DФ = α + β
• DФ = 11.37° +  7.63°
• DФ = 19°