Question

  Dos casas se encuentra ubicadas cada una en una montaña separadas por un río.  Un barco que pasa por el río, se encuentra a unas distancias como se muestra en la figura.  A qué distancia se encuentra la casa A de la casa B. ​

Answer 1

La distancia aproximada entre la casa A y la casa B es de 3.79 kilómetros

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa el punto donde se sitúa el barco que pasa por el río, donde el lado AC (b) y el lado AB (a) equivalen a las distancias desde el barco hasta las casas A y B respectivamente, ubicadas cada casa sobre cada una de las montañas que separa el río. Y el lado AB (c) representa la distancia entre las dos casas A y B la cual es nuestra incógnita

Hallando la distancia "c" entre la casa A y la casa B

La cual está dada por el lado faltante del triángulo lado AB (c)

Conocemos el valor de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para hallar la distancia entre las casas A y B

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c^{2} =( 3.5 \ km)^{2} + (1.8 \ km)^{2} - 2 \ . \ 3.5 \ km \ . \ 1.8 \ km \ . \ cos(85)^o }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 12.25 \ km^{2} + 3.24 \ km^{2} - 12.6 \ km^{2} \ . \ cos(85)^o }}$

$\boxed {\bold { c^{2} =15.49 \ km^{2} - 12.6 \ km^{2} \ . \ 0.0871557427476 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 15.49\ km^{2} -1.10 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {c^{2} =14.39 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{14.39 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 14.39 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 3.793415\ km }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 3.79\ km}}$

La distancia aproximada entre la casa A y la casa B es de 3.79 kilómetros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y ángulos planteadas