Question

Dos carreteras rectas se cruzan en un punto "A" formando un ángulo de 55°, en un punto en una de las carreteras hay un edificio a 368 metros de "A", y en un punto de la otra carretera hay un edificio que está a 426 metros de donde se cruzan las carreteras, determine la distancia entre los edificios.

Answer 1

La distancia entre los dos edificios es de aproximadamente 370.22 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde en el vértice A se encuentra el punto en donde las dos carreteras rectas se cruzan. Donde el lado AB (c) equivale a una de las carreteras y la distancia desde el punto A hasta el punto B donde se halla un edificio y el lado AC (b) conforma la otra carretera y la distancia desde el punto A hasta el punto C donde se ubica el otro edificio - donde ambas longitudes forman un ángulo de 55° en el punto A donde las dos carreteras se cruzan-. Y el lado BC (a) representa la distancia entre los dos edificios -ubicados respectivamente en los puntos B y C -la cual es nuestra incógnita

Donde se pide determinar la distancia entre los edificios

Hallamos la distancia "a" entre los puntos B y C -donde se ubican respectivamente los dos edificios-

La cual está dada por el lado faltante del triángulo lado BC (a)

Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la distancia entre los dos edificios

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { a^{2} = (426 \ m)^{2} + ( 368 \ m)^{2} - 2 \ . \ 426\ m \ . \ 368 \ m \ . \ cos(55^o) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 181476 \ m^{2} + 135424 \ m^{2} - 313536 \ m^{2} \ . \ cos(55^o) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} =316900\ m^{2} - 313536\ m^{2} \ . \ 0.573576436351 }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 316900\ m^{2} -179836.86 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {a^{2} =137063.14 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ a ^{2} } = \sqrt{137063.14 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {a = \sqrt{137063.14 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {a \approx 370.220393 \ metros }}$

$\large\boxed {\bold { a \approx 370.22\ metros}}$

La distancia entre los dos edificios es de aproximadamente 370.22 metros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados