Question

Dos barcos viajan en línea recta y en diferentes direcciones, uno a 35 km/h y el otro a 50 km/h. Dos horas después se encuentran separados el uno del otro 60km. Calcular el ángulo que los separa en dicho momento.​
Ayudaaa, por favor!!!

Answer 1

El ángulo que separa a los dos barcos después de 2 horas de navegación cuando ambas naves se encuentran separadas por 60 kilómetros es de 36.18°

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera

Se representa la situación en un triángulo ABC: en donde el lado BC (a) y el lado AC (b) equivalen a las trayectorias respectivas realizadas por el barco A -que se desplaza a 35 kilómetros por hora- y el barco B -que navega a 50 kilómetros por hora-, donde ambos partieron del mismo punto –vértice C- ,en línea recta y en diferentes direcciones. Y el lado AB (c) es la distancia a la que se encuentran separadas ambas naves al cabo de dos horas de navegación.

Donde se pide hallar el ángulo que separa a ambos barcos en dicho momento- es decir al cabo de dos horas de navegación-

Para determinar el ángulo solicitado vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Hallamos el valor de los dos lados restantes del triángulo

Por la ecuación de MRU

$\large\boxed {\bold { Distancia = Velocidad \ . \ Tiempo }}$

Hallamos las distancias recorridas por cada uno de los barcos al cabo de dos horas de navegación

$\large\textsf{Barco A }\ \ \ \bold{V = 35\ \frac{km}{h} }$

$\boxed {\bold { Distancia \ Barco \ A = Velocidad \ . \ Tiempo }}$

$\bold { Distancia \ Barco \ A = 35 \ \frac{km}{\not h} \ . \ 2 \not h }$

$\boxed {\bold { Distancia \ Barco \ A = 70 \ km }}$

$\large\textsf{Barco B }\ \ \ \bold{V = 50\ \frac{km}{h} }$

$\boxed {\bold { Distancia \ Barco \ B = Velocidad \ . \ Tiempo }}$

$\bold { Distancia \ Barco \ B = 50 \ \frac{km}{\not h} \ . \ 2 \not h }$

$\boxed {\bold { Distancia \ Barco \ B = 100 \ km }}$

Luego conocemos las magnitudes de los tres lados del triángulo

$\bold{a = 70 \ km }$

$\bold{b = 100 \ km }$

$\bold{c =60 \ km }$

Determinamos el valor del ángulo que separa a los barcos al cabo de 2 horas de navegación -cuando ambos barcos se encuentran a una distancia de 60 kilómetros el uno del otro-

El cuál es el ángulo comprendido por los lados del triángulo que representan las trayectorias respectivas de cada uno de los barcos para ese momento -en el que se encuentran separados ambos 60 kilómetros-. Siendo para el barco A un recorrido de 70 kilómetros y para el barco B un trayecto de 100 kilómetros

Hallamos el ángulo al que llamamos C

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} + b^{2} - c^{2} = 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(C )= \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2} }{2 \ . \ a \ . \ b \ } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(C )= \frac{(70 \ km )^{2} + (100 \ km )^{2} - (60 \ km )^{2} }{2 \ . \ 70 \ km \ . \ 100 \ km } }}$

$\boxed {\bold {cos(C )= \frac{4900\ km^{2} + 10000\ km^{2} - 3600 \ km^{2} }{14000 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(C )= \frac{14900\ km^{2} - 3600 \ km^{2} }{14000 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(C )= \frac{11300 \not km^{2} }{14000 \not km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(C )= \frac{ 11300 }{14000 } }}$

$\boxed {\bold {cos(C )= \frac{ 113 }{140 } }}$

$\boxed {\bold {cos(C )= 0.80714285714286 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}$

$\boxed {\bold {C=arccos( 0.80714285714286 ) }}$

$\boxed {\bold {C = 36.18228^o }}$

$\large\boxed {\bold {C = 36.18^o }}$

El ángulo que separa a los dos barcos después de 2 horas de navegación cuando ambas naves se encuentran separadas por 60 kilómetros es de 36.18°

Se agrega gráfico para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas