Question

Dos barcos son observados desde lo alto de un
faro en la misma dirección. El barco más cercano se
observa con un ángulo de depresión β y el otro con
un ángulo de depresión de 37°. Si la altura del faro
es de 50 m, ambos botes están separados por 40 m
y el faro está a 22 m sobre el nivel del mar.

Answer 1

Consideraciones iniciales:

Primer ángulo de depresión α

Segundo ángulo de depresión = 37°

Altura del faro = 50m

Separación de ambos botes = 40 m

Faro se encuentra a 22 m sobre el nivel del mar

Solución:

En primer lugar, hay que considerara que el faro tiene una altura de 50m pero esta sobre el nivel del mar a 22 m.

Por lo tanto, la altura desde el nivel del mar será = 50m + 22m = 72 m

Altura total = 72 m

Consideremos la distancia hacia el barco más lejano como "d", además el ángulo de depresión es = 37°

Considerando como referencia el punto en donde está el barco más alejado el ángulo de elevación con que se ve el faro será = al ángulo de depresión:

Por lo tanto, aplicando la función tangente:

$tan(37)=\frac{72}{d}\\d=\frac{72}{tan(37)} \\d=95.53m$

Entonces la distancia desde el faro hasta el barco más, lejano(B) será de:

D = 95.53 m

Ahora se sabe que ambos barcos están separados 40 metros entonces:

La distancia del faro hacia el primer barco será de:

d = 95.53 - 40 m

d = 55.53 m

Entonces la distancia desde el faro hasta el barco más cercano(A) será de 55.53 m

Pero el ángulo de depresión con el que se ve al barco más cercano(A) será igual al ángulo de elevación con que este barco observa al faro, por lo tanto:

Aplicando la función tangente:

$tg(\alpha )=\frac{72}{55.53}\\\alpha = arctg(\frac{72}{55.53})\\\alpha =52.36$

El ángulo de depresión es de α=52.36°

Respuesta:

El ángulo de depresión observado desde lo alto del faro será de α=52.36°