Question

Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110º. Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro?.

Answer 1

Al cabo de 2 horas de navegación los dos barcos estarán separados por una distancia de aproximadamente 71.20 kilómetros, luego en ese instante se encontrarán a esa distancia un barco del otro

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa el puerto desde donde salieron los dos barcos a la misma hora con rumbos distintos, donde el lado BC (a) representa la trayectoria del Barco 1 y el lado CA (b) la trayectoria del Barco 2 donde ambos recorridos forman un ángulo de 110°.

Se pide hallar a que distancia se encentra un barco del otro después de 2 horas de navegación

Sabemos por enunciado la distancia recorrida por cada uno de los barcos al cabo de 2 horas desde el punto inicial

Siendo para cada uno de los barcos:

$\bold{Barco \ 1 = 34 \ km }$

$\bold{Barco \ 2 = 52 \ km }$

Luego podemos hallar la distancia que los separará después de 2 horas de navegación y por tanto a que distancia se encontrará un barco del otro

La cual está dada por el lado faltante del triángulo

Hallamos la distancia que separa a los dos barcos después de dos horas de navegación (lado c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = (34 \ km) ^{2} + (52\ km) ^{2} - 2 \ . \ 34\ km \ . \ 52\ km \ . \ cos(110^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 1156 \ km ^{2} + 2704 \ km^{2} - 3536 \ km^{2} \ . \ cos(110^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 3860 \ km^{2} - 3536 \ km^{2} \ . \ -0.342020143 }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 3860 \ km^{2} + 1209.38 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 5069.38 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 5069.38 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 5069.38 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 71.1995786\ km }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 71.20 \ km}}$

Al cabo de 2 horas de navegación los dos barcos estarán separados por una distancia de aproximadamente 71.20 kilómetros, luego en ese instante se encontrarán a esa distancia un barco del otro

Se adjunta gráfico