Question

Dos barcos A y B parten de un puerto al mismo momento. El barco A parte en dirección N39°O a una velocidad de 12 M/h, mientras que el barco B parte en dirección S78°O con una velocidad de 10M/h. Al pasar 2 horas ¿cuánta distancia separa los dos barcos?

Answer 1

Teorema del coseno.  Ejercicios

Observando la imagen que adjunto puede apreciarse el triángulo que se forma entre el punto de origen de coordenadas D y las ubicaciones de los barcos A y B después de 2 horas.

Los rumbos de esos barcos se entienden de este modo:

N39ºO  (Norte, treinta y nueve grados, Oeste) significa que tomando como referencia la vertical DN, el rumbo del barco A forma un ángulo de 39º girando  en sentido contrario a las agujas del reloj.

S78ºO  (Sur, setenta y ocho grados, Oeste) significa que tomando como referencia la vertical DS, el rumbo del barco B mide un ángulo de 78º girando en sentido de las agujas del reloj.

El ángulo que nos interesa conocer es el que forman los dos rumbos, es decir, el ángulo ADB el cual mide la suma de los dos complementarios de los ángulos conocidos que he anotado en el dibujo:

51 + 12 = 63º y el lado opuesto a ese ángulo es la distancia que el ejercicio nos pide calcular. Lado AB.

Vamos ahora a calcular las distancias recorridas:

• El barco A a 12 millas/hora, en 2 horas recorre  12×2 = 24 millas
• El barco B a 10 millas/hora, en 2 horas recorre  10×2 = 20 millas

Así pues, esas son las medidas de los lados AD y DB respectivamente.

Para esto hay que usar la ley o teorema del coseno  (basado en Pitágoras) que dice:   $a^2=b^2+c^2-2bc*cos\ A$

Para nuestro ejercicio:

• a = Lado o distancia a calcular AB
• b = distancia recorrida por barco A = 24 millas
• c = distancia recorrida por barco B = 20 millas
• A = ángulo opuesto a AB = 63º

Obtengo el coseno de A con la calculadora y me dice que es  0,454

y sustituyo los datos en la fórmula:

$a^2=24^2+20^2-2*24*20*0,454 = 1411,84\\ \\ a=\sqrt{540,16} =23,24\ millas$

La distancia que separa ambos barcos es 37,57 millas

Saludos.