Question

Dos barcos, A y B, están anclados cerca un muelle. Desde el punto C del muelle se observan los dos barcos de modo que la medida del ángulo ACB es 60°, la distancia del barco A al punto de referencia es 5 km y la distancia del barco B a este mismo punto es de 8 km. Calcular el ángulo B

Answer 1

El ángulo B tiene un valor de 38.21°

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Se representa la situación en un triángulo ABC: en donde el vértice C representa el punto donde se ubica el muelle -desde donde se observan dos barcos A y B anclados- en donde los lados AC (b) y BC (a) equivalen a las distancias y visuales respectivas desde el muele hasta cada uno de los dos barcos: estando el Barco A ubicado a 5 kilómetros del muelle y el Barco B situado a 8 kilómetros de ese mismo punto. Donde desde dicho punto C  ambas longitudes forman un ángulo de 60°

Donde se pide determinar:

El valor del ángulo B

El Barco B se encuentra en ese vértice

Hallamos la distancia entre los dos barcos A y B

La cual está dada por el lado faltante del triángulo el lado AB (c)

Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la distancia entre los dos barcos

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = (8 \ km) ^{2} + ( 5 \ km) ^{2} - 2 \ . \ 8 \ km \ . \ 5\ m \ . \ cos(60^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 64 \ km ^{2} + 25 \ km^{2} - 80 \ km^{2} \ . \ cos(60^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 89 \ km^{2} - 80 \ km^{2} \ . \ cos(60^o) }}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 60 grados es } \bold {\frac{ 1 } {2 } = 0.5 }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 89 \ km^{2} - 80 \ km^{2} \ . \ 0.5 }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 89 \ km^{2} -40\ km^{2} }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 49 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 49 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 49 \ km^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { c =7 \ km}}$

La distancia entre las dos barcos A y B es de 7 kilómetros

Conocidas las magnitudes de los tres lados del triángulo

$\bold{a = 8 \ km }$

$\bold{b = 5 \ km }$

$\bold{c =7 \ km }$

Calculamos el ángulo B -comprendido desde el Barco B hasta la posición del Barco A  y hasta el punto donde se encuentra el muelle-

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} + c^{2} - b^{2} = 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2} }{2 \ . \ a \ . \ c } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{(8 \ km)^{2} + (7 \ km) ^{2} - (5 \ km)^{2} }{2 \ . \ 8\ km \ . \ 7 \ km } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{64 \ km^{2} + 49 \ km^{2} - 25\ km^{2} }{112\ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{113 \ km^{2} - 25 \ km^{2} }{112 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{88 \not km^{2} }{112 \not km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ 88}{112 } }}$

$\textsf{Simplificando }$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ 11}{14 } }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}$

$\boxed {\bold {B=arccos\left( \frac{11}{14}\right ) }}$

$\boxed {\bold {B= 38.2132^o }}$

$\large\boxed {\bold {B=38.21^o }}$

Aunque el enunciado no lo pida:

Completamos el problema

Hallando el ángulo A  -comprendido desde el Barco A hasta la ubicación del Barco B  y hasta el punto donde se encuentra el muelle-

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Como ya conocemos dos de los ángulos del triángulo determinamos el valor del tercero

Planteamos

$\boxed {\bold {180^o= A +B +C }}$

$\boxed {\bold {180^o=A+ 38.21^o +60^o }}$

$\boxed {\bold {A = 180^o- 38.21^o -60 ^o }}$

$\large\boxed {\bold {A = 81.79^o }}$

Se agrega gráfico para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas