Question

dos aviones parten de la misma ciudad y sus direcciones forman un angulo de 67 despues de 45 minutos uno de ellos esta a 246km de la ciudad y el otro a 285km

¿Cuál es la distancia entre los aviones?

Ayuda plisss

Answer 1

Al cabo de 45 minutos de navegación los dos aviones se encontrarán separados por una distancia aproximada de 294.88 kilómetros

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa la ciudad desde donde partieron los dos aviones con direcciones distintas, donde el lado BC (a) representa la trayectoria de uno de los aviones - la cual llegará hasta el vértice A - y el lado CA (b) la trayectoria de la otro avión - la cual llegará hasta el vértice B - donde ambos recorridos forman un ángulo de 67°. Y el lado AB (c) representa la distancia entre los dos aviones luego de haber avanzado sus respectivos recorridos después de 45 minutos la cual es nuestra incógnita

Se pide hallar a que distancia se encontrará un avión del otro después de haber avanzado 246 y 285 kilómetros respectivamente después de 45 minutos

Hallamos la distancia "c" de separación entre los dos aviones para determinar a que distancia se encontrará uno del otro al cabo de 45 minutos de navegación

La cual está dada por el lado faltante del triángulo lado AB (c)

Conocemos el valor de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para hallar la distancia entre los dos aviones

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c^{2} =( 246 \ km)^{2} + (285 \ km)^{2} - 2 \ . \ 246 \ km \ . \ 285 \ km \ . \ cos(67^o) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 60516 \ km^{2} + 81225 \ km^{2} - 140220 \ km^{2} \ . \ cos(67^o) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} =141741\ km^{2} - 140220\ km^{2} \ . \ 0.390731128489 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 141741\ km^{2} -54788.32 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {c^{2} =86952.68 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 86952.68 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 86952.68 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 294.87739 \ km }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx294.88\ km}}$

Al cabo de 45 minutos de navegación los dos aviones se encontrarán a una distancia de aproximadamente 294.98 kilómetros uno del otro

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y ángulos planteadas