Question

Dos aviones parten al mismo tiempo y vuelan en direcciones que forman un ángulo de 123°. Si los aeroplanos mantienen velocidades de 185millas/h y 170millas/h, respectivamente, cuando se encuentren a dos horas de viaje, la distancia que los separa será de

A) 312,06 millas
B) 339,80 millas
C) 502,49 millas
D) 624,12 millas​

Answer 1

La distancia que separará a los aviones después de dos horas de viaje es de 624,12 millas  -Opción D-

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\boxed { \bold { a^{2} = b^{2} \ + \ c^{2} \ - \ 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos (\alpha )}}$

$\boxed { \bold { b^{2} = a^{2} \ + \ c^{2} \ -\ 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos (\beta )}}$

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} \ -\ 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos (\gamma )}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Se desea hallar la distancia que separa a dos aviones los cuales parten al mismo tiempo y del mismo sitio, siendo sus trayectorias lineales, al cabo de dos horas de iniciar sus respectivos viajes

Representamos esta situación en un imaginario triángulo ABC en donde el lado AC (lado a) y el lado BC (lado b) representan respectivamente las trayectorias de cada uno de los aviones desde el vértice C del triángulo el cual representa el sitio de donde partieron e iniciaron sus rumbos respectivos. Siendo el lado AB (lado c) la distancia que separará a los dos aviones  -Avión A y Avión B-  y que es nuestra incógnita. Como podemos hallar las distancias de recorrido para cada uno de los dos aeroplanos después de dos horas de viaje y conocemos el valor del ángulo comprendido entre las dos trayectorias empleamos la ley del coseno, ya que conocemos dos lados y el ángulo que conforman estos dos lados

Hallando la distancia recorrida por cada uno de los aviones al cabo de 2 horas

$\boxed { \bold { Avi\'on \ A \ \ \ \ \ \ \to\ \frac{185 \ millas } {hora} . \ 2 \ horas = 370 \ millas}}$

$\boxed { \bold { Avi\'on \ B \ \ \ \ \ \ \to\ \frac{170 \ millas } {hora} . \ 2 \ horas = 340 \ millas}}$

Al cabo de 2 horas de viaje el Avión A se encontrará a 370 millas del punto de partida y el Avión B a 340 millas

Emplearemos esas trayectorias recorridas junto con al ángulo  que conforman sus rumbos para determinar la distancia de separación entre ambas naves al cabo de 2 horas de viaje.

Hallando la distancia entre los dos aviones al cabo de 2 horas de navegación  (Lado AB - lado c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} \ -\ 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos (\gamma )}}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 370^{2} \ + \ 340^{2} \ -\ 2 \ . \ 370 \ . \ 340 \ . \ cos (123 )\° }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 136900 \ + \ 115600 \ -\ 251600 \ . \ cos (123 )\° }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 252500 \ -\ 251600 \ . \ cos (123 )\° }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 252500 \ -\ 251600 \ . \ - 0,544639035015 }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 252500 \ +\ 137031,18 }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = \ 398531,18 }}$

$\boxed { \bold { \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{ 398531,18 } }}$

$\boxed { \bold { c = \sqrt{ 398531,18 } }}$

$\boxed { \bold { c \approx 624,12 \ millas }}$

Después de dos horas de navegación los dos aviones se encontrarán separados por una distancia de 624,12 millas