Question

Dos automóviles, A y B, viajan en línea recta. La posición de A con respecto al punto de partida está dada, en función del tiempo, por xA(t) = at + bt 2 , con a = 2.60 mys y b = 1.20 mys 2 . La posición de B respecto del punto de partida es xB(t) = gt 2 - dt 3 , con g = 2.80 mys 2 y d = 0.20 mys 3 . a) ¿Cuál automóvil se adelanta justo después de salir del punto de partida? b) ¿En qué instante(s) los dos automóviles están en el mismo punto? c) ¿En qué instante(s) la distancia entre A y B no aumenta ni disminuye? d) ¿En qué instante(s) A y B tienen la misma aceleración?

Answer 1

xA(t) = a*t + b*t^2 ⇒ a = 2,6 m/s ; b = 1,2 m/s^2

xB(t) = g*t^2 - d*t^3 ⇒ g = 2,8 m/s^2 ; d = 0,2 m/s^3

a) Calculemos la velocidad para el instante en que salen los automóviles. Justo después del instante t = 0 s la carrera empieza

v(t) = dx(t) / dt ⇒ Derivada de la posición con respecto al tiempo resulta en la velocidad instantánea

vA(t) = d ( a*t + b*t^2 ) / dt 

vA(t) = a + 2*b*t

vA(t) = (2,6 m/s) + 2*(1,2 m/s)(t)

vA(0) = 2,6 m/s

vB(t) = d ( g*t^2 - d*t^3 ) / dt

vB(t) = 2g*t - 3d*t^2

vB(0) = 0 m/s

El auto A se adelanta con respecto al auto B justamente al empezar la carrera

b) Instante en que los dos automóviles están en el mismo punto

xA(t) = xB(t) 

(2,6)t + (1,2)*t^2 = (2,8)*(t)^2 - (0,2)*t^3

(0,2)*t^3 - (2,8)*t^2 + (1,2)*t^2 + (2,6)t = 0 

(0,2)*t^3 - 1,6*t^2 + 2,6t = 0 ⇒ Por ser una ecuación de 3er grado, existirán tres instantes de tiempo donde los dos automóviles se encontrarán

t1 = 5,73 s ; t2 = 0 s ; t3 = 2,27 s 

c) Instante en que las distancias entre A y B no aumenta ni disminuye

Para t = 5,73 s y 2,27 s las distancias no variarán

d) Instantes en que A y B tienen la misma aceleración:

a(t) = d^2(t) / dt^2

aA(t) = d^2 (  a*t + b*t^2 ) / dt^2

aA(t) = 2*b = 2*(1,2) = 2,4 m/s^2

aB(t) = 2*g - 2*3*d*t

aB(t) = 2*(2,8) - 6*(0,2)*t

aB(t) = 5,6 - 1,2*t

aA(t) = aB(t)

2,4 = 5,6 - 1,2*t

1,2*t = 5,6 - 2,4

t = 2,67 s ⇒ Instante en que las dos aceleraciones son iguales