división de polinomios de una cifra
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Respuestas a la pregunta
Respuesta:
División de un polinomio por un número
Cuando dividimos un polinomio por un número, el resultado es otro polinomio que cumple las siguientes características :
El polinomio resultante es del mismo grado que el polinomio que fue dividido.
Sus coeficientes resultan de dividir cada uno de los coeficientes del polinomio entre el número
Se dejan las mismas partes literales.
Ejemplos:
\displaystyle \frac{2x^3 - 4x^2 + 6x - 2}{2} =
\displaystyle \frac{2x^3}{2} - \frac{4x^2 }{2} +\frac{6x}{2} - \frac{2}{2} =
\displaystyle x^3 - 2x^2 + 3x - 1
\displaystyle \frac{6x^3 - 3x^2 + 9x - 4}{3} =
\displaystyle \frac{6x^3}{3} - \frac{3x^2 }{3} +\frac{9x}{3} - \frac{4}{3} =
\displaystyle 2x^3 - x^2 + 3x - \frac{4}{3}
División de un polinomio por un monomio
En la división de un polinomio por un monomio se divide cada uno de los monomios que forman el polinomio por el monomio, hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor.
Ejemplos:
\displaystyle \frac{2x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 12x}{2x} =
\displaystyle \frac{2x^4}{2x} - \frac{4x^3 }{2x} +\frac{8x^2}{2x} - \frac{12x}{2x}=
\displaystyle x^{3}-2x^{2}+4x -6
\displaystyle \frac{2x^6 - 4x^4 + x^2 }{2x^2} =
\displaystyle \frac{2x^6}{2x^2} - \frac{4x^4 }{2x^2} +\frac{x^2 }{2x^2} =
\displaystyle x^4 - 2x^2 + \frac{1}{2}
División de un polinomio por un polinomio
Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico con los polinomios:
\displaystyle P\left ( x \right ) = x^{5}+2x^{3} - x -8
\displaystyle Q\left ( x \right ) = x^{2}-2x +1
\displaystyle \frac{P(x)}{ Q(x)}
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan, es decir, en esta caso dejamos el espacio para el elemento de cuarto grado y otro espacio para el elemento de segundo grado.
x^5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +2x^3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x-8 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dividido \ \ por \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2-2x + 1
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
\displaystyle \frac{x^5}{ x^2 }= x^3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Es decir : \displaystyle (x^3)(x^2-2x+1) = x^5-2x^4+x^3
Recordemos que se va a restar al polinomio, así que debemos colocarlo con signo opuesto:
\displaystyle -x^5+2x^4-x^3
División de polinomios , primer termino algebraico
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
\displaystyle \frac{2x^4}{x^2} = 2x^2
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
\displaystyle (2x^2)(x^2-2x+1)= 2x^4-4x^3+2x^2
Recordemos que se va a restar al polinomio, así que debemos colocarlo con signo opuesto:
\displaystyle -2x^4+4x^3-2x^2
División de polinomios , segundo termino algebraico
Procedemos igual que antes.
\displaystyle \frac{5x^3}{x^2}= 5x
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
\displaystyle (5x)(x^2-2x+1)= 5x^3-10x^2+5x
Recordemos que se va a restar al polinomio, así que debemos colocarlo con signo opuesto:
\displaystyle -5x^3+10x^2-5x
División de polinomios , tercer termino algebraico
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
\displaystyle \frac{8x^2}{x^2}= 8
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
\displaystyle (8)(x^2-2x+1)= 8x^2-16x+8
Recordemos que se va a restar al polinomio, así que debemos colocarlo con signo opuesto:
\displaystyle -8x^2+16x-8
Resultado de la división de polinomios
La división concluye aquí, ya que 10x-16 tiene menor grado que el divisor.
Cociente o resultado de la división: \displaystyle x^3+2x^2+5x+8
Resto o residuo: \displaystyle 10x - 16
Explicación paso a paso: