Question

Distribución binomial – Anexo 1
La secretaria de salud frente a la contaminación en la ciudad de Medellín determino que la variable PM10 tiene una probabilidad de aceptación del 27%. Construya una tabla con valores entre el 0 y 10 aplicando la distribución Binomial.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 µg/m3?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 4 µg/m3?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 3 µg/m3?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 9 µg/m3?
5. ¿Qué probabilidad hay de que salgan a lo sumo 7 µg/m3?

Answer 1

Solucionando el planteamiento tenemos:

Tabla de valores:

X      0              1           2            3          4             5      

p  0,0005   0,005   0,0198   0,0537   0,1043  0,1543

X      6          7           8            9            10    

p  0,1807  0,1719   0,1351   0,0888   0,0493

1. La probabilidad de que exactamente 8 µg/m3: 0,1351.

2. La probabilidad de que a lo más 4 µg/m3: 0,1833

3. La probabilidad de que más de 3 µg/m3: 0,921

4. La probabilidad de que al menos 9 µg/m3: 0,0859

5. La Probabilidad de que salgan a lo sumo 7 µg/m3: 0,6902.

◘Desarrollo:

Para resolver el planteamiento aplicamos la Distribución Binomial por medio de la fórmula siguiente:

X≈Bin(n;p)

$P(X=x)=\left(\begin{array}0n&x\end{array}\right)*p^{x}*(1-p)^{n-x}$

Datos:

n=24

p=0,27

$P(X=0)=\left(\begin{array}024&0\end{array}\right)*0,27^{0}*(1-0,27)^{24-0}$

$P(X=0)= 0,0005$

$P(X=1)=\left(\begin{array}024&1\end{array}\right)*0,27^{1}*(1-0,27)^{24-1}$

$P(X=1)= 0,005$

$P(X=2)=\left(\begin{array}024&2\end{array}\right)*0,27^{2}*(1-0,27)^{24-2}$

$P(X=2)= 0,0198$

$P(X=3)=\left(\begin{array}024&3\end{array}\right)*0,27^{3}*(1-0,27)^{24-3}$

$P(X=3)= 0,0537$

$P(X=4)=\left(\begin{array}024&4\end{array}\right)*0,27^{4}*(1-0,27)^{24-4}$

$P(X=4)= 0,1043$

$P(X=5)=\left(\begin{array}024&5\end{array}\right)*0,27^{5}*(1-0,27)^{24-5}$

$P(X=5)= 0,1543$

$P(X=6)=\left(\begin{array}024&6\end{array}\right)*0,27^{6}*(1-0,27)^{24-6}$

$P(X=6)= 0,1807$

$P(X=7)=\left(\begin{array}024&7\end{array}\right)*0,27^{7}*(1-0,27)^{24-7}$

$P(X=7)= 0,1719$

$P(X=8)=\left(\begin{array}024&8\end{array}\right)*0,27^{8}*(1-0,27)^{24-8}$

$P(X=8)= 0,1351$

$P(X=9)=\left(\begin{array}024&9\end{array}\right)*0,27^{9}*(1-0,27)^{24-9}$

$P(X=9)= 0,0888$

$P(X=10)=\left(\begin{array}024&10\end{array}\right)*0,27^{10}*(1-0,27)^{24-10}$

$P(X=10)= 0,0493$

1. La probabilidad de que exactamente 8 µg/m3 sean aceptados:

$P(X=8)=\left(\begin{array}024&8\end{array}\right)*0,27^{8}*(1-0,27)^{24-8}$

$P(X=8)= 0,1351$

2. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 4 µg/m3?

P(X≤4)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)

P(X≤4)= 0,0005+0,005+0,0198+0,0537+0,1043

P(X≤4)=0,1833

3. La probabilidad de que más de 3 µg/m3 sean aceptados:

P(X>3)= 1-P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

P(X>3)= 1-(0,0005+0,005+0,0198+0,0537)

P(X>3)= 0,921

4. La probabilidad de que al menos 9 µg/m3 sean aceptados:

P(X≥9)= 1-P(X<9)

P(X<9)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)

P(X≥9)= 1-(0,0005+0,005+0,0198+0,0537+0,1043+0,1543+0,1807+0,1719+0,1351+0,0888)

P(X≥9)= 0,0859

5. Qué probabilidad hay de que salgan a lo sumo 7 µg/m3:

P(X≤7)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)

P(X≤7)= 0,0005+0,005+0,0198+0,0537+0,1043+0,1543+0,1807+0,1719

P(X≤7)=0,6902