Question

Distancia entre dos puntos.
1. Encuentre la distancia del Origen al punto P (8,6)
2. Hallar la distancia entre los puntos A (2,1) y B (6,4)
Punto medio.
1. Hallar el punto medio que se encuentra entre el origen y el punto P (8,6)
2. Hallar el punto medio que se encuentra entre los puntos A (2,1) y B (6,4)
Pendiente de la recta.
1. Hallar la pendiente de la recta que está formada por los puntos A (-2,1) y B (2,-3)
2. Hallar el ángulo de inclinación de la misma.
Distancia de un punto a una recta.
1. Calcular la distancia del punto P (2,3) a la recta 5x-12y-52=0
Circunferencia.
1. La Ecuación de la circunferencia en la forma general es: x? + y2 + 6x - 5y + 9 = 0 por el método de completar cuadrados (TCP) hallar las coordenadas del centro y la longitud del radio.



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Answer 1

La distancia entre el origen y el punto (8, 6) es de  10  unidades de longitud (ul), mientras que la distancia entre los puntos  (2, 1) y (6, 4) es de  5  ul.

Distancia entre dos puntos.

La distancia  d  entre los puntos  (x1, y1)  y  (x2, y2)  viene dada por la expresión:

$\bold{d~=~\sqrt{(x2~-~x1)^2~+~(y2~-~y1)^2}}$

Aplicamos esta fórmula en la solución de las situaciones planteadas

1. Distancia del Origen al punto P (8, 6)

$\bold{d~=~\sqrt{(8~-~0)^2~+~(6~-~0)^2}~=~\sqrt{64~+~36}~=~10}$

2. Distancia entre A (2, 1) y B (6, 4)

$\bold{d~=~\sqrt{(6~-~2)^2~+~(4~-~1)^2}~=~\sqrt{16~+~9}~=~5}$

La distancia entre el origen y el punto (8, 6) es de  10  unidades de longitud (ul), mientras que la distancia entre los puntos  (2, 1) y (6, 4) es de  5  ul.

Punto medio

El punto medio  PM  del segmento de recta que une los puntos  (x1, y1)  y  (x2, y2)  viene dado por la expresión:

$\bold{PM~=~(\dfrac{x2~+~x1}{2}~,~\dfrac{y2~+~y1}{2})}$

Aplicamos esta fórmula en la solución de las situaciones planteadas

1. Punto medio entre el origen y el punto P (8, 6)

$\bold{PM~=~(\dfrac{8~+~0}{2}~,~\dfrac{6~+~0}{2})~=~(4~,~3)}$

2. Punto medio entre los puntos A (2, 1) y B (6, 4)

$\bold{PM~=~(\dfrac{6~+~2}{2}~,~\dfrac{4~+~1}{2})=~(4~,~\dfrac{5}{2})}$

El punto medio del segmento de recta entre el origen y el punto (8, 6) es el punto (4, 3), mientras que el del segmento de recta entre los puntos (2, 1) y (6, 4) es el punto (4, 5/2).

Pendiente de la recta

1. Pendiente de la recta que pasa por los puntos A (-2, 1) y B (2, -3)

La pendiente  m  de la recta que pasa por los puntos  (x1, y1)  y  (x2, y2)  viene dada por la expresión:

$\bold{m~=~\dfrac{y2~-~y1}{x2~-~x1}}$

Sustituimos los valores

$\bold{m~=~\dfrac{-3~-~1}{2~-~(-2)}~=~-1}$

2. Ángulo de inclinación de la recta

La pendiente  m  es la tangente del ángulo de inclinación  α  de la recta con respecto al eje  x  positivo; así que para hallar el valor del ángulo de inclinación se calcula el arco tangente de la pendiente de la recta

α  =  ArcTg(m)  =  ArcTg(-1)  =  135°

La pendiente de la recta que pasa por los puntos A (-2, 1) y B (2, -3) es igual a  -1  y su ángulo de inclinación es de 135°.

Distancia de un punto a una recta

1. Calcular la distancia del punto P (2, 3) a la recta  5x  -  12y  -  52  =  0

La distancia  D  entre un punto  (x1, y1)  y  la recta de ecuación general  Ax  +  By  +  C  =  0    viene dada por la expresión:

$\bold{D~=~|\dfrac{Ax1~+~Bx2~+~C}{\sqrt{A^2~+~B^2}}|}$

Sustituimos los valores

$\bold{D~=~|\dfrac{(5)(2)~+~(-12)(3)~+~(-52)}{\sqrt{(5)^2~+~(-12)^2}}|=~|\dfrac{-78}{\sqrt{169}}|~=~6}$

La distancia del punto P (2, 3) a la recta  5x  -  12y  -  52  =  0  es de  6 ul.

Circunferencia

1. La Ecuación de la circunferencia es:

x²  +  y²  +  6x  -  5y  +  9  =  0

Hallar las coordenadas del centro y la longitud del radio.

x²  + 6x  =  x²  +  6x  +  9  -  9  =  (x  +  3)²  -  9

y²  -  5y  =  y²  -  5y  +  25/4  -  25/4  =  (y  -  5/2)²  -  25/4

Sustituyendo

(x  +  3)²  -  9  +  (y  -  5/2)²  -  25/4  +  9  =  0

La ecuación canónica de la circunferencia es

(x  +  3)²  +  (y  -  5/2)²  =  25/4               donde el radio cuadrado es 25/4

De aquí

El centro de la circunferencia es el punto (-3,  5/2)  y el radio es   5/2  ul