Question

Disponemos de un cono de radio R y altura H. ¿A qué altura desde el vértice seccionamos el cono con un plano perpendicular al eje de modo que el cono resultante tenga la midad del volumen del original?

Answer 1

Veamos. Una sección longitudinal del cono es un triángulo de base 2 R y altura H.

Marcamos una altura h desde el vértice y una base 2 r. Hay otro triángulo semejante al anterior.

El volumen del cono es  V = 1/3 π  R² H

El volumen del cono menor es V' = 1/3 π r² h

Se debe cumplir que V' = V/2; es decir:

1/3 π r² h = 1/2 . 1/3 π R² H; o sea:

r² h = 1/2 R² H (1)

De la semejanza de los dos triángulos: h / r = H / R;

Por lo tanto: r = R h / H; reemplazamos en (1)

(R h / H)² h = 1/2 R² H²; nos queda: R² h³ / H²  = 1/2 R² H

Finalmente: h³ = 1/2 H³

O sea h = H / ∛2 ≈ 0,794 H

Saludos Herminio