Diseño de un tanque en forma de cilindro recto. La fundidora donde usted trabaja ha sido contratada para diseñar y construir un tanque cilíndrico, abierto por arriba y con una capacidad de 500 pies3. El tanque se tiene que hacer soldando placas delgadas de acero a lo largo de sus bordes. Como ingeniero de producción, su trabajo consiste en determinar las dimensiones de la base y la altura que harán que el tanque pese lo menos posible.
Respuestas a la pregunta
El tanque de menor peso es el de menor cantidad de material de construcción, es decir el de menor área superficial posible. Esta es la suma de las áreas lateral y de piso del cilindro y es mínima cuando el radio es igual a pies y la altura es igual a pies.
Explicación paso a paso:
La función objetivo es el área superficial del cilindro abierto. Si llamamos h la altura y r el radio; la función objetivo viene dada por:
Lo conveniente es que el área este expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r:
de aqui
por tanto la función objetivo es
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
A' = 0 ⇒ ⇒
⇒
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
⇒ es un mínimo de la función A.
Cuarto, hallamos el valor de h sustituyendo el valor de r en la expresión correspondiente