Question

Diga si la función es continua en los puntos señalados:
$f(x)=\left \{ {{3x-2 si x \ \textless \ 0} \atop {2x+3 si x \geq 0}} \right., en x=0$

Answer 1

⚠ Recordemos 2 cosas:

1. La función f(x) es continua en un punto x = b si existe el límite de la función en él.
2. El límite de una función f(x) es igual a M si y solo sí, existen sus límites laterales y son iguales, es decir

                                $\mathsf{\lim\limits_{x \to a}f(x)=M}\:\:\:\mathsf{\Longleftrightarrow}\:\:\: \boxed{\mathsf{\lim\limits_{x \to a^+}f(x)=\lim\limits_{x \to a^-}f(x)}}$

En conclusión para saber si la función es continua debemos demostrar lo que está en el cuadrito.

En el problema analizaremos el límite en x = 0, ya que es un valor crítico.

Usaremos la primera ecuación cuando analicemos el límite por la izquierda y la segunda para cuando lo analicemos por la derecha

                              $\boxed{\mathsf{f(x) = \left \{ {{3x - 2,\:\:si\:\:x<0\Leftarrow\boldsymbol{\mathsf{1\° ecuaci\'on}}} \atop {2x+3,\:\:si\:\:x\geq0\Leftarrow\boldsymbol{\mathsf{2\° ecuaci\'on}}}}} \right. }}$

         ► Límite por la derecha                          ► Límite por la izquierda

                          $\mathsf{\lim\limits_{x \to a^+}f(x)}$                                                 $\mathsf{\lim\limits_{x \to a^-}f(x)}$

                    $\mathsf{\lim\limits_{x \to 0^+}2x+3 = 2(0) + 3}\\\\\boldsymbol{\mathsf{\lim\limits_{x \to 0^+}2x+3 = 3}}$                      $\mathsf{\lim\limits_{x \to 0^-}3x - 2 = 3(0) - 2}\\\\\boldsymbol{\mathsf{\lim\limits_{x \to 0^-}3x-2 = -2}}$

Vemos que:

                                                ${\mathsf{\lim\limits_{x \to a^+}f(x)\neq \lim\limits_{x \to a^-}f(x)}}$

Entonces diremos que la función f(x) no es continua en el punto x = 0.

                                                                                                            〆ʀᴏɢʜᴇʀ ✌