Question

Difusión de una enfermedad: Un modelo de la difusión de un virus gripal supone que dentro de una población de P personas, la rapidez con la que se difunde una enfermedad es proporcional tanto a la cantidad D de personas que ya son portadoras de ella, como a la cantidad P-D de personas que aún no están afectada. Matemáticamente, el modelo se define con la siguiente función: R(D) = kD(P-D) Donde R(D) es la rapidez de difusión del virus gripal (casos por día) y k> 0 es una constante de proporcionalidad. a. Demuestren que si la población P es constante, entonces, la enfermedad se extiende con más rapidez cuando exactamente la mitad de la población es portadora de la gripa. b. Suponga que en un pueblo de 10.000 personas hay 125 enfermas el domingo y que el lunes se presentan 37 casos nuevos. Estime el valor de la constante k. el martes c. Usando el resultado de punto anterior estime los nuevos casos que se presentaran (sugerencia: La cantidad de personas portadoras de gripa, el lunes, es 162 = 125 + 37) d. Estime la cantidad de casos nuevos el miércoles, jueves, viernes y sábado.​

URGENTE, DE ANTEMANO MUCHAS GRACIAS.

Answer 1

a. Cuando la población P es constantes la función de rapidez de difusión de un virus es:

R(D) = K*D*(P - D)

R(D) = K'*D - K*D²

Donde:

K" = K*P = constante

Para obtener cuándo la enfermedad se extiende con mayor rapidez, derivamos la función rapidez respecto del número de infectados, tal como se muestra a continuación e igualamos a cero.

$\frac{dR}{dD}=K'-2*K*D =0$

$D = \frac{K'}{2*K}=\frac{K*P}{2*K} =\frac{P}{2}$

Queda demostrado que si la población P es constante, entonces, la enfermedad se extiende con más rapidez cuando exactamente la mitad de la población es portadora de la gripa.

b. Si en un pueblo de 10.000 personas hay 125 enfermos el domingo y el lunes hay 37 casos nuevos. El valor estimado de la constante k es:

$R_{Domingo}=K*125*(10000-125)=K*1234375$

$R_{Lunes}=K*162*(10000-162) = K*1593756$

$\frac{R_{Lunes}}{R_{Domingo}} =1,2911$

$R_{Lunes}=1,2911= K*1593756$

$K=8,1568x10^{-7}$

c. Usando el resultado del punto anterior consideraremos que la rapidez de variación de lunes a martes es la misma que de domingo a lunes, entonces la cantidad de infectados el martes será:

$R_{Lunes}=K*162*(10000-162) = K*1593756$

$R_{Martes}=K*(162+x)*(10000-162-x)=x$

$\frac{R_{Martes}}{R_{Lunes}}=1,2911=\frac{(162+x)*(10000 - 162-x)}{1593756}$

Los nuevos infectados para el martes son 48,18 ≅ 48 infectados

d.- Considerando que se mantiene la misma rapidez de variación, la cantidad de infectados para:

Miércoles = 1,2811*48 = 61,97 ≅ 62 infectados

Jueves = 1,2811*62 = 80,04 ≅ 80 infectados

Viernes = 1,2811*80 = 103,29 ≅ 103 infectados

Sábado = 1,2811*103 = 132,98 ≅ 133 infectados