Question

dicho polinomio
6. Dado el polinomio P(x) - ** -2x -3x +ka* +4, se sabe que al dividirlo
entre x - 3 el resto de la división es 16.
a) ¿Cuánto debe valer K?
A-1
C.0
D.
b) ¿Cuáles serían en ese caso las aíces del polinomio?
c) ¿Cuál sería su factorización?
d) ¿Existirá algún número real para el cual el valor numérico en ese
polinomio sea negativo?

Answer 1

Respuesta:

a) $4$  b) $x=-1$ y $x=2$   c)$(x+1)(x+1)(x-2)(x-2)$   d) No existe

Explicación paso a paso:

Utilizando el Teorema del Resto tenemos que:

$(3)^{4}-2(3)^{3}-3(3)^{2}+k(3)+4=16\\81-2(27)-3(9)+3k+4=16\\81-54-27+3k+4=16\\3k+4=16\\3k=12\\k=12/3\\k=4$

Por lo tanto, el polinomio queda así:

$P(x)=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+4x+4$

Resolviéndolo usando la regla de Ruffini obtenemos que sus raíces son:

$x=-1$ y $x=2$, por lo tanto se puede factorizar de la siguiente manera:

$(x+1)(x+1)(x-2)(x-2)$

Aplicando el criterio de la primera derivada podemos observar que no existe ningún real para el cual al evaluar la función obtengamos un número negativo.

$P(x)=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+4x+4$

$P'(x)=4x^{3}-6x^{2}-6x+4$

$4x^{3}-6x^{2}-6x+4=0\\2\left(x+1\right)\left(2x-1\right)\left(x-2\right)=0\\x=-1, x=1/2, x=2$

$P(-1)=0, P(1/2)=81/16, P(2)=0$

Por lo tanto los puntos críticos serán: $(-1,0),(\frac{1}{2},\frac{81}{16}),(2,0)$, es decir, no hay valor real para el cual el valor numérico en el polinomio sea negativo.