Question

dibuja y calcula el area de la region limitada por la parabola y= 3x-x² y su recta normal en el punto (3,0)​

Answer 1

La pendiente de la recta normal es recíproca y opuesta que la pendiente de la recta tangente.

y' = 3 - 2 x

m = y'(3) = 3 - 2 . 3 = - 3 (pendiente de la tangente)

m' = - 1/m = 1/3

Recta norma: y = 1/3 (x - 3) = 1/3 x - 1

Hallar la abscisa de los puntos de intersección entre la recta normal y la parábola.

3 x - x² = 1/3 x - 1; estos puntos son x = 3, x = - 10/9

El área entre dos funciones en la integral de la diferencia entre las dos funciones entre sus puntos de intersección (entre sus abscisas)

Restamos la ecuación de la parábola con la recta.

3 x - x² - 1/3 (x - 1) = - x² + 8/3 x + 1

Integramos: I = - x³/3 + 4/3 x + x

Para x = - 10/9; I ≅ 1

Para x = 3; I = 6

Finalmente el área es:

A = 6 - 1 = 5 unidades

Adjunto gráfico

Mateo