Determine un dominio y el rango correspondiente de las siguientes funciones
de variable real (8 PTS)
g(x)=x/(x-1)
h(x)=2x/(x+3)
f(x)=√(1-x^2 )
r(x)=√(x^2-1)
h(x)=2/(√(|x-2| )-1)
f(x)=(x^2-1)/(x^2+1)
f(x)=1/(x-1)+1/(x-2)
h(x)=√(x-1)+√(x-2)
Seaf una función tal que f (x)= x^2- x,con dominio igual a R.
El intervalo en x para el cual f (x) > 2,es: (2 PTS)
(− ∞, 0) ∪ (2, + ∞)
(− ∞, 1)
(2, 1)
(−∞, −1) ∪ [2, + ∞)
R− [−1, 2]
Si f es una función de variable real cuya regla de correspondencia está
definida por f(x)=√(4-x^2 )/(x^2-6x-7), un dominio de f es: (2 PTS)
[-2,2]
[-7,-2] ∪ [1,2]
[-2,1) ∪ (1,2]
(-2,1] ∪ [-1,2)
〖(-2,2)〗^c
Empleando una tabla de valores, grafique las siguientes funciones de variable real para el dominio dado. Identifique los ejes y las divisiones utilizadas. (14 PTS)
f(x)=x^2;x≥0
g(x)=√(-x);x≤0
h(x)=x^3-2;x∈R
r(x)=2/(x-1);x∈R-{1}
m(x)=2x+2;x∈R
g(x)=〖4-x〗^2;x∈R
f(x)=√x;x≥0
Demostrar que la función de variable real f (x) = kx + b es estrictamente creciente para k > 0 y estrictamente decreciente para k < 0. (4 PTS)
ayudenme por favor
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
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Explicación paso a paso:
Pregunta #1:
El dominio de una función f(x): son los posibles valores que pueda tomar "x" dentro de la función, El rango de una función: son los posibles valores que puede tomar f(x) = y dentro de la función. Procedemos a encontrar dominio y rango:
- g(x)=x/(x-1)
Dominio: x - 1 ≠ 0, x ≠ 1. Dom g(x) = R - {1}
Rango: buscamos la inversa
x | x - 1
- (x + 1) 1
- 1
g(x) = x/(x - 1) = 1 - 1/(x - 1) = y
1 - y = 1/(x - 1)
x - 1 = 1/(1 - y)
x = 1/(1 - y) +1
Rango: y ≠ 1 Rgo g(x) = R - {1}
h(x)=2x/(x+3)
Dominio: x + 3≠ 0, x ≠ -3. Dom g(x) = R - {-3}
Rango: buscamos la inversa
2x | x +3
- (2x + 6) 2
- 6
g(x) = 2x/(x + 3) = 2 - 6/(x + 3) = y
2 - y = 6/(x + 3)
x + 3= 1/(2- y)
x = 1/(2 - y) - 3
Rango: y ≠ 2 Rgo g(x) = R - {2}
f(x)=√(1-x²)
Dominio: (1 - x²) ≥ 0 ⇒ 1 ≥ x² ⇒ - 1 ≤ x ≤ 1
Rango: y = √(1 - x²) ⇒ y² = 1 - x² ⇒ x² = 1 - y² ⇒ x = √(1 - y²)
(1 - y²) ≥ 0 ⇒ 1 ≥ y² ⇒ - 1 ≤ y ≤ 1
r(x)=√(x²-1)
Dominio: (x² - 1) ≥ 0 ⇒ x² ≥ 1 ⇒ x ∉ (-1,1), Dom R - x ∈(-1,1)
Rango: y = √(x² - 1) ⇒ y² = x² - 1 ⇒ x² = y² + 1 ⇒ x = √(y² + 1)
Rgo = R
h(x)=2/(√(|x-2| )-1)
Dominio: |x - 2| es mayor que cero siempre, entonces puede estar dentro de la raíz sin problema ahora √(|x - 2|) no puede ser igual a 1 pues dividiriamos entre 0, √(|x - 2|) ≠ 1 ⇒ |x - 2| ≠ 1 ⇒ x ≠ 3 ∧ x ≠ 1 Dominio h(x) = R - {3,1}
Rango: El denominador es mayor que cero lo mas pequeño que puede ser es -1, por lo que el rango va desde - 2 pero no puede ser cero Rgo h(x) = [-2,0) U (0,∞)
f(x)=(x²-1)/(x²+1)
Dominio: los reales pues el denominador siempre es mayor que cero
Rango: realizamos la división
x²-1 | x² + 1
- (x² + 1) 1
- 2
f(x)=(x²-1)/(x²+1) = 1 - 2/(x² + 1) = y
(1 - y) = 2/(x² + 1)
x² + 1 = 2/(1 - y)
x² = 2/(1 - y) - 1
x = √(2/(1 - y) - 1)
1 - y ≠ 0 ⇒ y ≠ 1
2/(1 - y) - 1 ≥ 0
2/(1 - y) ≥ 1
Si 1 - y < 0 ⇒ 1 < y entonces ya es menor que 1 la expresión es negativa> por lo tanto y < 1
Si 1 - y > 0
2 ≥ 1 - y
y ≥ - 1
Tenemos que: y ≠ 1, y < 1 , y ≥ - 1, por lo tanto R = f(x) ∈ [-1,1)
f(x)=1/(x-1)+1/(x-2)
= ((x - 2) + (x - 1))/((x - 1)*(x - 2))
= (2x - 3)/((x - 1)*(x - 2))
x ≠ 1 ∧ x ≠ 2 Dominio R - {1,2}
Pregunta #2:
Tenemos la función f(x) = x² - x, con dominio igual en los reales (esto es cierto pues f(x) es un polinomio) y todo polinomio tiene dominio en los reales. Veamos cuales valores cumplen con la condición dada: formando una inecuación con la misma
El intervalo en x para el cual f(x) > 2,es:
x² - x > 2
x² - x - 2 > 0
(x - 2)*(x + 1) > 0
Veamos el signo:
Expresión - ∞ - 1 2 ∞
(x - 2) - - +
(x + 1) - + +
(x -2)*(x + 1) + - +
Entonces el intervalo correcto: es cuando es positivo que es en el intervalo (-∞,-1) U (+2,∞) = R - [−1, 2]. Ultima opción
Pregunta #3:
Tenemos la función √((4-x² )/(x²-6x-7)) factorizamos utilizando las reglas de producto notable y factorización:
= √((2 - x)*(2 + x)/((x +1)*(x - 7))
Dominio: El denominador distinto de cero entonces x ≠ - 1 ∧ x ≠ 7, ahora la raíz debe ser positiva, veamos al igual que el ejercicio anterior el signo de lo que esta dentro de la raíz
Expresión - ∞ -2 -1 2 7 ∞
(2 - x) + + + - -
(2 + x) - + + + +
(x + 1) - - + + +
(x - 7) - - - - +
((2 - x)*(2 + x) - + - + -
/((x +1)*(x - 7))
El dominio entonces es: Dominio = x ≠ - 1 ∧ x ≠ 7 ∧ x ∈ [-2,-1] U [2,7], por lo tanto, uniendo todas las restricciones x ∈ [-2,-1) U [2,7). Ninguna de las opcioens es valida.
Pregunta #4:
f(x)=x²;x ≥ 0 podemos observar la gráfica tomando solo los valores positivos o iguales a cero de "x", Primera grafica
g(x)=√(-x); x ≤ 0 podemos observar la gráfica tomando solo los valores negativos o iguales a cero de "x", Segunda grafica
h(x)=x³-2;x∈R podemos observar la gráfica tomando todo valor de"x" real, Tercera grafica
r(x)=2/(x-1); x∈R-{1} podemos observar la gráfica tomando todo valor de"x" real excepto el 1, cuarta grafica
m(x)=2x+2;x∈R podemos observar la gráfica tomando todo valor de"x" real, quinta gráfica
g(x)=(4-x)²;x∈R podemos observar la gráfica tomando todo valor de"x" real, sexta gráfica
f(x)=√x; x≥0 odemos observar la gráfica tomando todo valor de"x"positivo o igual a cerol, septima gráfica
Pregunta #5:
Una función f(x) es estrictamente creciente si para cuales quieras números a y b tales que a > b entonces f(a) > f(b)
Una función f(x) es estrictamente decreciente si para cuales quieras números a y b tales que a > b entonces f(a) < f(b)
Tenemos que:
f(x) = kx + b
Si k > 0, sean a y b dos números distintos donde a > b ⇒ a - b > 0
f(a) = k*a + b
f(b) = k*b + b
f(a) - f(b) = k*a + b - k*b - b = k*a + k*b = k*(a - b)
Ahora como a - b > 0 y k > 0 entonces k*(a - b) > 0
f(a) - f(b) = k*(a - b) > 0
Por transitividad:
f(a) > f(b) La función es estrictamente creciente.
Si k < 0, sean a y b dos números distintos donde a > b ⇒ a - b > 0
f(a) = k*a + b
f(b) = k*b + b
f(a) - f(b) = k*a + b - k*b - b = k*a + k*b = k*(a - b)
Ahora como a - b > 0 y k < 0 entonces k*(a - b) < 0
f(a) - f(b) = k*(a - b) < 0
Por transitividad:
f(a) < f(b) La función es estrictamente decreciente.
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