Determine tres números positivos cuya suma sea 21, tal que su producto P sea un máximo. (Sugerencia:
Exprese P como una función de dos variables).
Respuestas a la pregunta
Explicación paso a paso:
Tres números positivos cuya suma sea 21:
a+b+h = 21
Su producto p sea un máximo, quiere decir que de un Volumen que tiene tres dimensiones: ancho, largo y profundidad
3+7+11 = 21
p = 3*7*11
p = 231
Respuesta:
Los números son 7 ; 7 ; 7
Explicación paso a paso:
x+y+z = 21 => z = 21 - x - y
P(x,y) = x·y·z = x·y·(21-x-y) = 21xy - x²y - xy²
∂P/∂x = 21y - 2xy - y² = 0
∂P/∂y = 21x - 2xy - x² = 0
Igualamos las dos ecuaciones:
21y - 2xy - y² = 21x - 2xy - x²
21y - 2xy - y²-21x + 2xy + x²=0
21(y-x) - (y-x)(y+x) = 0 (sacamos factor común y-x)
(y-x)·(21 - y - x) = 0
=> x-y=0 ó 21-y-x=0
Como z = 21 - x - y , si 21-y-x = 0 => z=0 . Descartamos esta respuesta porque entonces el producto x.y.z= 0 (es un mínimo). No puede ser porque estamos buscando un máximo.
Vamos por el camino de x-y=0 => x=y
Sustituimos en, por ejemplo, ∂F/∂x = 21y - 2xy - y² = 0
∂F/∂x = 21x - 2xx -x² = 21x - 3x² = 0
x·(21 - 3x) =0 => 21 - 3x = 0 => x = 21/3 => x = 7 y y = 7
x+y+z = 21
7+7+z=21 => z=21-7-7 => z=7
El máximo sería :
P(x,y) = 21xy - x²y - xy²
P(x,y) = 21.7.7 - 7².7 - 7.7²
P(x,y) = 343