Question

Determine todos los valores de d de modo que 3dx^2-4dx
+ d +1 = 0 .tenga dos raíces iguales.

Answer 1

Sabemos que (ax)²-2abx+b²

Podemos resolver esta ecuación factorizando

(ax-b)²=0 , (ax-b)(ax-b)=0
 
Recuerda que si a*b=0 , entonces a=0 y/o b=0

(ax-b)=0 
(ax-b)=0 

a simple vista podemos ver que tenemos dos soluciones (raíces) iguales.
Entonces para que se cumpla las condiciones dadas en le problema tienes que obtener los valores para d de tal forma que nos que de al final un trinomio cuadrado perfecto, ¿por que? por que este tiene dos soluciones (raíces) iguales.

Te dejo adjunta una imagen en donde hay un ejemplo sobre como identificar un t.c.p.




Tenemos 

3dx²-4dx+(d+1)=0

Moldeamos nuestra expresión para que cumpla con los criterios de un trinomio cuadrado perfecto   

  2 √3dx² × √d+1  =  -4dx
 
(esta igualdad sale de los criterio y es la parte clave del problema, si tienes dudas me escribes)

Simplificando (las x se anulan)

obtienes la siguiente ecuación con una incógnita

-4d=2×√3d×√d+1

Al resolver la ecuación obtienes d=0 y d=3

Para este caso nos sirve d=3 d=0 al evaluar en el polinomio obtienes una inconsistencia pues 1≠0


Remplazas d=3 

y obtienes 


(3x)²-2(3)×(2)-2²=0

Luego factorizas y te queda (3x-2)²=0, (3x-2)(3x-2)=0 (recuerda lo que deducimos al inicio sobre a×b=0) luego,

 3x-2=0

3x=2

x=2/3


Y como puedes ver tienes dos raíces iguales.
Saludos