Question

determine si los planos son paralelos, ortogonales o ninguna de las 2 cosas en el ultimo caso hallar el angulo de interseccion

5x-3y+z=4,x+4y+7z=1



3x+y-4z=3,-9x-3y+12z=4



x-3y+6z=4,5x+y-z=4


3x+2y-z=7,x-4y+2z=0


x-5y-z=1,5x-25y-5z=-3


2x-z=1,4x+y+8z=10

Answer 1

Veamos.

Sean dos planos. A1x + B1y + C1z + D1 = 0; A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Los coeficientes de x, y, z son las coordenadas del vector normal al plano.

Si los vectores son paralelos, los planos son paralelos. En este caso hay proporcionalidad entre las coordenadas correspondientes:

A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2; si además es = D1/D2, son coincidentes

Si los vectores son perpendiculares, los planos son perpendiculares. En este caso la sumatoria de los productos de las coordenadas corresponidentes es nula:

A1 . A2 + B1 . B2 + C1 . C2 = 0

El ángulo entre los planos es igual al ángulo entre sus vectores normales.

El producto escalar es quien determina este ángulo.

cos Ф = n1 x n2 / (|n1| .|n2|) siendo n el vector normal y |n| su módulo

Veamos el primero.

No son paralelos: 5/1 ≠ -3/4

5 . 1 - 3 . 4 + 7 . 1 = 0, por lo tanto son perpendiculares Ф = 90°

El segundo.

3/-9 = 1/-3 = 4/12 ≠ 3/4, los planos son paralelos

El tercero.

No son paralelos; 1 . 5 - 3 . 1 - 6 . 1 = - 4, no son perpendiculares.

cos Ф = - 4 / [√(1² + 3² + 6²) . √(5² + 1² + 1²)] = - 0,1135

Por lo tanto Ф = 96,5° es el ángulo entre ellos.

Creo que puedes seguir con los demás.

Saludos Herminio