Matemáticas, pregunta formulada por elsimiosubatomico, hace 16 horas

Determine si la recta L1 que pasa por(-1,0,3) y (3,-2,5) y la recta L2:P=(-2,1,0)+t(4,0,-1) se interceptan o se cruzan. En caso se intercepten, halle el punto de intersección. En caso se crucen, determine la distancia entre dichas rectas

Respuestas a la pregunta

Contestado por LeonardoDY

Las rectas L1 y L2 no se intersecan, son alabeadas, la distancia entre ellas es $\frac{14}{\sqrt{53}}$ .

¿Existe punto de cruce entre las rectas?

A partir de los puntos por los que pasa la recta L1 podemos hallar un vector director para esa recta:

$v=(3-(-1), -2-0, 5-3)=(4,-2,2)$

Como el vector director no es el mismo que el de L1, las rectas no son paralelas. Ahora, con las ecuaciones paramétricas podemos ver si las rectas se intersecan o no, para la recta L2 la ecuación paramétrica es:

$x=-2+4t\\y=1\\z=-t$

Y para la recta L1 las ecuaciones paramétricas son:

$x=-1+4u\\y=-2u\\z=3+2u$

Podemos igualar las ordenadas para hallar el valor de u:

$1=-2u\\u=-\frac{1}{2}$

y también igualar las componentes z para hallar el valor de t:

$3+2u=-t\\3+2(-\frac{1}{2})=-t\\-t=2\\t=-2$

Al igualar las abscisas podemos ver si existe punto de intersección:

$-2+4t=-1+4u\\-1=4u-4t\\-1=4.(-\frac{1}{2})-4(-2)=-2+8\\-1=6$

Esto nos lleva a un absurdo, por lo que no existe punto de intersección.

¿Cuál es la distancia entre las rectas?

Ahora, la distancia entre las dos rectas, siendo A y B un punto de cada una de las rectas y v y w los vectores directores, es:

$d=\frac{[AB,v,w]}{|v\times w|}$

El producto mixto entre AB, v y w es:

$AB=(-1-(-2),0-1,3-0)=(1,-1,3)\\v=(4,-2,2)\\w=(4,0,-1)\\\\|[AB,v,w]|=det\left[\begin{array}{ccc}1&-1&3\\4&-2&2\\4&0&-1\end{array}\right] \\|[AB,v,w]|=|1((-2)(-1)-0.2)-(-1)(4(-1)-4.2)+3(4.0-4(-2))|=|2+(-12)+24|=14$

Y el producto vectorial es:

$u\times v=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\4&-2&2\\4&0&-1\end{array}\right] \\u\times v=i((-2)(-1)-0.2)-j(4(-1)-4.2)+k(4.0-4(-2))=(2,12,8)\\u\times v=(1,6,4)\\\\|u\times v|=\sqrt{1^2+6^2+4^2}=\sqrt{53}$