Determine si el conjunto S genera R^3 S={(-2,5,0),(4,6,3)}
Respuestas a la pregunta
El conjunto S no genera a R³
Para poder determinar si un conjunto S es capaz de generar a todo R³, todos los valores de R³ deben ser combinación lineal de S, en nuestro caso tenemos
(x,y,z) = a(-2, 5, 0) + b(4, 6, 3) = (-2a + 4b, 5a + 6b, 3b)
x = -2a + 4b
y = 5a + 6b
z = 3b
Como se ve, si solo consideramos las dos primeras ecuaciones tenemos lo siguiente
a = (6x - 4y) / (-12-20) = 2(3x - 2y)/(-32) = (2y - 3x)/16
b = (-2y - 5x)/(-12-20) = (2y+5x)/32
Esto se hizo mediante el método de Cramer
De la tercera ecuación, sabemos que b = z/3, por lo que si igualamos esto al resultado obtenido anteriormente tenemos
z/3 = (2y + 5x)/32
32z = 6y + 15x
15x + 6y - 32z = 0
Esto indica que los valores que se generan a partir del conjunto S son los pertenecientes al plano 15x + 6y - 32z = 0, por lo un punto que no pertenezca a este no es generador por S, entonces S no genera a R³