Question

determine si el conjunto s genera a r3:

1 s=[(6,7,6),(3,2,-4),(1,-3,2)]

2 s=[(1,-4,1),(6,3,2)]

Answer 1

El primer conjunto s=[(6,7,6),(3,2,-4),(1,-3,2)]  si genera a r³ el segundo  s=[(1,-4,1),(6,3,2)] no lo genera.

Para que un conjunto genera a r³: debe tener dimensión mayor o igual a 3 y al menos tres vectores deben ser linealmente independientes.

Entonces: el primer conjunto s para generar a r³ debe tener los vectores linealmente independientes. Esto es que para que una combinación lineal sea "0" los escalares deben ser 0

a*(6,7,6) + b*(3,2,-4) + c*(1,-3,2) = (0,0,0)

6a + 3b + c = 0 ⇒ c = -6a - 3b

7a + 2b - 3c = 0 ⇒ 7a + 2b - 3*(-6a - 3b) = 0 ⇒ 7a + 2b + 18a + 9b = 0

⇒ 25a + 11b = 0

6a - 4b + 2c = 0 ⇒ 6a - 4b + 2*(-6a - 3b) = 0 ⇒ 6a - 4b - 12a - 6b = 0

⇒-6a - 10b = 0 ⇒ 6a = -10b ⇒ -0.6*a = b

25a + 11*(-0.6*a) = 0

25a - 6.6a = 0 ⇒ a = 0

b = -0.6*0 = 0

c = -6*0 - 3*0 = 0

Entonces el conjunto genera a r³

El segundo conjunto tiene solo dos vectores entonces no genera a r³