Question

Determine para cuales valores la funcion es continua.
f(x,y) = (2cos(x) si x ≤ c,
ax^2 + b si x > c
por favor evaluarla solo por limite.

Answer 1

Una funci´on y = f(x) se dice continua en un punto x = c cuando existe el l´ımite de la funci´on en el punto x = c y dicho l´ımite es f(c). Esta definici´on da lugar a tres condiciones que debe cumplir la funci´on para ser continua en c: a) c est´a en el dominio de la funci´on. b) existe l´ımx→c f(x) (es decir, los l´ımites laterales son finitos e iguales). c) l´ımx→c f(x) = f(c). Esto quiere decir que para que una funci´on sea continua no basta que tenga l´ımite, sino que adem´as dicho l´ımite tiene que coincidir con el valor de la funci´on en el punto correspondiente. Las funciones que no son continuas se llaman discontinuas. Hay varios tipos de discontinuidad dependiendo de la condici´on que no se cumple. A) Discontinuidad evitable: Corresponde al caso en que la funci´on tiene l´ımite pero no coincide con el valor f(c). Se llama evitable porque basta definir f(c) como el l´ımite de la funci´on en c para que la funci´on sea ahora continua. B) Discontinuidad de primera especie: Puede ser de salto finito cuando existen los dos l´ımites laterales pero son distintos, o de salto infinito cuando alguno de los l´ımites laterales es infinito. C) Discontinuidad esencial o de segunda especie: Si alguno de los dos l´ımites laterales no existe.