Question

Determine los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=〖sen〗^2 (x)-sen(x),x∈〈0,2π〉 empleando el criterio de la primera derivada.

Answer 1

Los extremos de la función están en los puntos $x=\frac{\pi}{6},x=\frac{\pi}{2},x=\frac{5\pi}{6},x=\frac{3\pi}{2}$, mientras que los intervalos de crecimiento son $(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})\cup(\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2})$ y los intervalos de decrecimiento son $(0, \frac{\pi}{6}) \cup(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6})\cup (\frac{3\pi}{2},2\pi)$.

¿Cómo determinar los extremos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento a través de la derivada?

Si tenemos una función como la descrita:

$f(x)=sen^2(x)-sen(x)$

Podemos determinar su derivada primera utilizando las reglas de la derivación para obtener información sobre sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Derivando esta función obtenemos lo siguiente:

$f'(x)=2.sen(x).cos(x)-cos(x)=cos(x)(2sen(x)-1)$

Para hallar los extremos de la función podemos igualar la derivada a cero, considerando que el dominio está restringido al intervalo $[0,2\pi]$:

$cos(x)(2sen(x)-1)=0\\\\cos(x)=0= > x=\frac{\pi}{2},x=\frac{3\pi}{2}\\\\2sen(x)-1=0\\\\sen(x)=\frac{1}{2}= > x=\frac{\pi}{6}, x=\frac{5\pi}{6}$

Es decir, tiene esos cuatro extremos relativos.

Ahora, para hallar los intervalos de crecimiento, tenemos que hallar los intervalos de positividad de la derivada primera, o sea, los intervalos en que es positiva. Evaluando la función en los puntos en que los dos factores son positivos tenemos:

$cos(x)(2sen(x)-1) > 0\\\\cos(x) > 0= > 0 < x < \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\\\\2sen(x)-1 > 0= > sen(x) > \frac{1}{2}= > \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$

Entonces, la función es positiva en el intervalo $(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})$, en este intervalo la función crece. Ahora vamos a evaluar en qué puntos los dos factores son negativos:

$cos(x)(2sen(x)-1) > 0\\\\cos(x) < 0= > \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}\\\\2sen(x)-1 < 0= > sen(x) < \frac{1}{2}= > \\= > 0 < x < \frac{\pi}{6}\\= > \frac{5\pi}{6} < x < 2\pi$

Es decir, el otro intervalo de positividad de la derivada, y, por lo tanto, de crecimiento de la función es $(\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2})$.

Quedan como intervalos de decrecimiento los intervalos $(0, \frac{\pi}{6}), (\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}), (\frac{3\pi}{2},2\pi)$.

Aprende más sobre el criterio de la derivada primera en https://brainly.lat/tarea/4432914

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