Question

Determine las matrices A y C sabiendo que:

A-2C=(3 2) y 2A+C= (0 2)

1 3 1 -1

Answer 1

Las matrices son:    $\mathbf {A=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{array}\right) \qquad \qquad C=\left(\begin{array}{cc}-\frac{6}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{7}{5}\end{array}\right)}$

Explicación paso a paso:

Construyamos las matrices  A  y  C:

$A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right) \qquad \qquad C=\left(\begin{array}{cc}e&f\\h&i\end{array}\right)$

Ahora resolvamos las operaciones dadas

$A-2C=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{cc}e&f\\h&i\end{array}\right) \qquad \Rightarrow$

$A-2C=\left(\begin{array}{cc}(a-2e)&(b-2f)\\(c-2h)&(d-2i)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3&2\\1&3\end{array}\right)$

De aquí planteamos un primer sistema de ecuaciones:  

a  -  2e  =  3

b  -  2f  =  2

c  -  2h  =  1

d  -  2i  =  3

$2A+C=2\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}e&f\\h&i\end{array}\right) \qquad \Rightarrow$

$2A+C=\left(\begin{array}{cc}(2a+e)&(2b+f)\\(2c+h)&(2d+i)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0&2\\1&-1\end{array}\right)$

De aquí planteamos un segundo sistema de ecuaciones:  

2a  +  e  =  0

2b  +  f  =  2

2c  +  h  =  1

2d  +  i  =  -1

Combinando los sistemas obtenidos antes:  

De la primera ecuación del segundo sistema obtenemos        

e  =  -2a

Sustituyendo en la primera ecuación del primer sistema        

a  -  2(-2a)  =  3

De aquí se tiene que:        a  =  3/5        ^       e  =  -6/5

De la segunda ecuación del segundo sistema obtenemos        

f  =  2  -  2b

Sustituyendo en la segunda ecuación del primer sistema      

b - 2(2 - 2b) = 2

De aquí se tiene que:        b  =  6/5        ^       f  =  -2/5

De la tercera ecuación del segundo sistema obtenemos        

h  =  1  -  2c

Sustituyendo en la tercera ecuación del primer sistema      

c  -  2(1 - 2c)  =  1

De aquí se tiene que:        c  =  3/5        ^       h  =  -1/5

De la cuarta ecuación del segundo sistema obtenemos        

i  =  -1  -  2d

Sustituyendo en la cuarta ecuación del primer sistema      

d  -  2(-1 - 2d)  =  3

De aquí se tiene que:        d  =  1/5        ^       i  =  -7/5

Por lo tanto las matrices  A  y  C  son:

$\bold{A=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{array}\right) \qquad \qquad C=\left(\begin{array}{cc}-\frac{6}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{7}{5}\end{array}\right)}$